Алексей Морозов родился 16 ноября 1979 года.
Артист Академического Малого драматического театра — театра Европы под руководством Льва Абрамовича Додина.
Первый актёрский опыт Алексей Морозов приобрёл во втором классе, сыграв главную роль мальчика Франческо в телеспектакле «Путешествие Голубой стрелы» в постановке известного питерского телережиссёра Валерия Саруханова. В 14 лет прошёл кастинг в театральную студию «Вообрази» при петербургском телевидении. Это определило выбор дальнейшей карьеры. Он поступает в Санкт-Петербургскую Государственную Академию театрального искусства в мастерскую В. М. Фильштинского по специальности «Актер театра и кино». После окончания Академии, в 2001 году, был приглашен в труппу МДТ — театра Европы, где сразу ввелся на роли в легендарных спектаклях театра - "Gaudeamus" и "Клаустрофобия".
Позже сменил деятельность — несколько лет работал в области связей с общественностью в Петербурге и Москве.
В 2006 году вернулся в Санкт-Петербург по приглашению Льва Додина в МДТ — театр Европы на роль Шута в спектакль «Король Лир» в очередь с Алексеем Девотченко. В настоящее время Алексей Морозов - один из ведущих молодых артистов труппы.
Сыграл несколько главных ролей в полнометражных картинах и художественных телевизионных фильмах: в ленте «Придел Ангела» режиссёра Николая Дрейдена; в многосерийном художественном фильме «Крест в круге» Дмитрия Федорова; в многосерийном художественном фильме «Раскол» Николая Досталя; художественном телевизионном фильме «Репортаж судьбы» Андрея Щербинина и др.
Играет на музыкальных инструментах: фортепиано, гитара, тромбон, ударные.
Женат, имеет сына.
В кино Алексей Морозов работал с такими режиссёрами, как Владимир Хотиненко, Николай Досталь, Александр Рогожкин, Дмитрий Федоров, Николай Дрейден, Андрей Щербинин, и др.
Алексей Морозов служит в МДТ — театре Европы под руководством Льва Додина. Также сотрудничает с театром Приют комедианта. Алексей работал с такими режиссёрами, как Лев Додин, Вениамин Фильштинский, Олег Дмитриев, Наталья Колотова, Николай Дрейден, Максим Диденко, Клаудиа Стависки.
Спектакли в МДТ — театре Европы:
Спектакли в театре Приют комедианта:
С 2002 по 2004 год Алексей Морозов вёл телевизионную версию журнала «Неприкосновенный запас» издательства «Новое литературное обозрение» на канале РЕН ТВ (петербургское вещание). Генеральный продюсер программы — Ирина Прохорова.
В 2003 году выступил в роли соведущего цикла программ «Есть упоение в бою…» об истории российских дуэлей и карточных игр на телеканале «Культура» совместно с актёром Игорем Ботвиным.
С сентября 2011 года ведёт телевизионную программу «Заповедная область с Алексеем Морозовым» на телеканале «Россия-Петербург». Передача рассказывает о природных и исторических достопримечательностях Ленинградской области.