Арбузов родился в Москве, в интеллигентной семье. В 1914 году семья переехала в Петроград, в 1916 начал учиться в гимназии, однако систематического образования не получил.
Революция 1917 года, голод и тяжёлая болезнь матери делают Алексея Николаевича сиротой в 11 лет. Мальчик вынужден бродяжничать и вскоре попадает в колонию для трудновоспитуемых.
Спасением для него стал театр. В Большом драматическом театре Арбузову довелось увидеть спектакль «Разбойники» Шиллера, который показывали для красноармейцев, уходящих на фронт. Со вступительным словом выступил А. Блок. Впечатление было настолько сильным, что в этом театре пересмотрел все спектакли, знал весь репертуар.
В 14 лет начал работать статистом в Мариинском театре. В 16 лет попадает в драматическую студию, под руководством П. Гайдебурова, блестящего актёра и режиссёра. Окончив студию, Арбузов поступает в труппу Гайдебурова. Весной 1928 уходит из театра, чтобы создать вместе с группой молодых актёров свой «Цех экспериментальной драмы». После его распада принимает участие в организации театра на колёсах (агитвагон), который ездит со спектаклями по малым городам России. Собственного драматурга театр не имел, поэтому Арбузов сам взялся за перо. Первая многоактная пьеса «Класс» была поставлена в Ленинграде, но не имела успеха.
После провала Арбузов уехал в Москву и поступил в театр Мейерхольда . Вскоре стал заведующим литературным отделом театра малых форм Пролеткульта.
Писал агитобозрения для театра малых форм Пролеткульта. В 1939 году вместе с Валентином Плучеком организовал Московскую театральную студию, которая во время Великой Отечественной войны стала фронтовым театром, который существовал до 1947 года.
Пьесы Алексея Арбузова с успехом ставились во многих странах мира, а в СССР буквально не сходили со сцены («Иркутская история» ставилась более 9000 раз только в 1960—1961 годах). Многие эксперименты Арбузова в области формы свидетельствуют о влиянии Теннесси Уильямса и Джона Осборна.
Лауреат Государственной премии СССР (1980, с формулировкой «за пьесы последних лет»).
Похоронен на Кунцевском кладбище в Москве.