Во время штурма рейхстага, совместно с М. А. Егоровым и М. В. Кантария при поддержке автоматчиков роты И. Я. Сьянова выполнил боевую задачу по водружению Знамени Победы над рейхстагом.
Родился 9 марта 1921 года в селе Горяйстовка Ахтырского района Сумской области Украинской ССР. Украинец.
В октябре 1939 года добровольцем пошёл в Красную Армию. Участвовал в Советско-финской войне.
За годы Великой Отечественной войны прошёл путь от рядового до заместителя командира 1-го батальона, 756 стрелкового полка, 150-й стрелковой дивизии, по политической части.
30 апреля 1945 года по приказу первого коменданта рейхстага, командира 756-го стрелкового полка, полковника Зинченко Ф. М., младший лейтенант Берест Алексей Прокопьевич возглавил выполнение боевой задачи по водружению знамени Военного совета 3-й ударной армии на куполе рейхстага. За участие в этой операции был награждён Орденом Красного Знамени. В ночь на 2 мая по заданию командования, переодевшись в форму советского полковника, Алексей Прокопьевич Берест лично вёл переговоры с остатками гарнизона рейхстага, принуждая их к капитуляции. За «исключительную отвагу и мужество, проявленную в боях» был представлен к награждению Золотой Звездой Героя Советского Союза, но награждён был орденом Красного Знамени.
Службу в Вооружённых силах закончил в 1948 году в Севастополе. Затем переехал в Ростовскую область. Заведовал районным отделом кинофикации. Вскоре был обвинён в хищении и вопреки показаниям свидетелей осуждён на 10 . По амнистии срок наказания был сокращён вдвое. После освобождения вернулся в Ростов-на-Дону. Работал пескоструйщиком в сталелитейном цехе на заводе «Ростсельмаш».
Погиб 3 ноября 1970 года, спасая девочку из-под колёс поезда.
6 мая 2005 года за боевую отвагу в Великой Отечественной войне 1941—1945 годов, личное мужество и героизм, проявленные в Берлинской операции, и водружение Знамени Победы над рейхстагом, указом Президента Украины № 753/2005 Алексею Бересту присвоено звание Герой Украины (посмертно).