А. Р. Воронцов родился в 1951 году. В 1974 году окончил Московский архитектурный институт. После окончания института работал в Научно-исследовательском и проектном институте генерального плана Москвы. С 1978 году работал в Московском научно-исследовательском институте объектов культуры, спорта и здравоохранения, где в составе группы авторов участвовал в проектировании велотрека в Крылатском. За проект велотрека был удостоен премией Международного союза архитекторов. С 1980 года работал в управлении Моспроект-2.
В 1992 году А. Р. Воронцов вместе с архитекторами П. Ю. Андреевым и Н. Ю. Бирюковым создал архитектурную мастерскую «Группа АБВ», генеральным директором которой Воронцов работал до 1996 года.
С 1996 по 2002 годы работал заместителем Председателя Москомархитектуры, начальником главного архитектурно-планировочного управления Москвы. С 2002 года возглавляет «Бюро архитектора Воронцова». С 2004 по 2008 годы являлся вице-президентом Союза архитекторов России. С 2008 года занимает должность профессора Московского архитектурного института.
А. Р. Воронцов является автором различных градостроительных и архитектурных проектов, среди которых проект расширения здания Павелецкого вокзала, здание торгового центра «Наутилус» на Лубянской площади, Учебно-воспитательный и спортивно-досуговый комплекс Еврейской марьинорощинской общины на улице Образцова, жилые дома в Гранатном и Последнем переулках, офисный центр компании Siemens на Ленинградском проспекте и ряд других построек. Воронцов — автор проекта реконструкции Бахметьевского гаража — выдающегося произведения архитектора К. С. Мельникова.