Начинал карьеру в московском ЦСКА, за дубль которого выступал в 1990—1993 годах во Второй низшей лиге СССР. Также в сезоне 1993/94 он сыграл один матч в Кубке России за основной состав ЦСКА. 13 апреля 1994 года в 1/4 финала армейцы по пенальти одолели «Локомотив» 4:3. Бычков заменил Сергея Мамчура после первого тайма. В том сезоне ЦСКА в Кубке дошли до финала, где уступили «Спартаку» по пенальти 2:4. В 1993 году Бычков перешёл в ярославский «Шинник», который на тот момент играл в первой лиге. За «чёрно-синих» Алексей провёл 19 матчей, забив 10 мячей. По окончании сезона он вернулся в армейский клуб. Но в основном составе закрепится не смог, и в мае того года ушёл в знакомый ему «Шинник». В чемпионате России он дебютировал 17 апреля 1994 года в матче 7-го тура против «Ротора». На 62-й минуте он вышел на замену вместо Александра Гришина. Второй матч он сыграл против «Спартака» 18 мая. В ярославском клубе Алексей выступал в период с 1994 по 1999 год играя сначала в первой лиге, а затем и в высшем дивизионе. В 1998 году Бычков дебютировал в еврокубках. 25 июля в Кубке Интертото «Шинник» дома принимал «Валенсию» и сенсационно победил 1:0. Алексей появился на поле на 53-й минуте, заменив Сергея Серебрянникова. 4 августа 1999 года он забил самый быстрый гол в истории чемпионатов России. На 9-й секунде он поразил ворота «Ротора». Матч завершился со счётом 2:0, второй мяч забил Артём Енин. В том сезоне «Шинник» занял последнее место и вылетел. Бычков покинул клуб и вернулся в ЦСКА. Но опять ненадолго. Сыграв в сезоне-2000 22 матча и забив 8 голов Алексей ушёл в «Шинник» на два сезона. Также в сезоне 1999/00 он сыграл один матч в Кубке. 11 апреля 2000 года в матче 1/4 финала ЦСКА выиграли по пенальти у «Анжи». В основное время матч завершился со счётом 1:1, на 31-й минуте Бычков отличился. В серии пенальти ЦСКА победил 5:3. Также, как и 6 лет назад армейцы дошли до финала, где вновь уступили. На этот раз «Локомотиву» в дополнительное время 2:3. В 2001 году «чёрно-синие» вышли в Премьер-лигу, там Алексей сыграл 18 матчей и забил 2 мяча. По окончании сезона он ушёл в «Факел», выступавший в первом дивизионе, где и завершил свою карьеру.