Родился в деревне Боровая Туринского уезда Тобольской губернии в семье крестьянина. Изучил монгольский язык, работая с детства в торговой фактории в Монголии.
С 1909 года по указаниям профессора Владимира Людвиговича Котвича собирал образцы фольклора и редкие рукописи. В 1911 году был награжден малой серебряной медалью ИРГО. Оказывал помощь в полевых работах Б. Я. Владимирцову.
Принимал участие в борьбе с войсками барона Р. Ф. Унгерна, позднее состоял на административно-хозяйственной работе
В 1926 году Алексей Бурдуков переехал в Ленинград, где преподавал разговорный монгольский язык в Восточном институте. С 1935 года — доцент, а с 1938 года — кандидат филологических наук. Преподавал по совместительству в ЛГУ.
Принимал участие в 1927 году в экспедициях в Танну-Туву и Калмыкию.
В начале 1930 годов был арестован на непродолжительное время. Был повторно арестован 2 июля 1941 года. 22 сентября того же года Военный трибунал Уральского Военного округа приговорил Бурдукова к высшей мере наказания (ст. 58-1а УК РСФСР). По кассации 8 ноября 1941 года смертная казнь заменена на 10 лет исправительно-трудовых работ. С 10 мая 1942 года находился во 2-м лагпункте Тайгинского района СибЛага.
Алексей Васильевич Бурдуков умер от пеллагры 13 марта 1943 года.