С 2005 года Алексей Дроздов выступает в соревнованиях взрослого уровня. В 2005 году он дебютировал на чемпионате мира (10-е место) и чемпионате России. В 2006 году на чемпионате Европы занял третье место, на чемпионате России — второе. В 2007 году на чемпионате мира стал четвёртым. В 2008 году выиграл золото чемпионата России и вошёл в состав сборной на Олимпиаду в Пекине, где занял 12-е место.
В 2010 году добился высшего успеха в карьере — третье место на чемпионате мира в закрытых помещениях в Катаре.