Богоссян начал свою карьеру в марсельском «Олимпике», где он играл в составе дубля. В 1992 году с целью получения игровой практики он перешёл в футбольный клуб «Истр», игравший на тот момент во второй французской лиге. После сезона в «Истре» он вернулся в «Олимпик». В 1994 году Алена Богоссяна купил итальянский клуб из Серии А «Наполи». После трёх лет игры в неапольском клубе он перешёл в состав «Сампдории». За генуэсский клуб футболист играл в течение сезона, после этого перешёл в «Парму», в составе которой в финале Кубка УЕФА 1998/99 обыграл свою бывшую команду «Олимпик» со счётом 3:0.
В 2002 году Богоссян подписал контракт с клубом Испанского Премьер-Дивизиона «Эспаньол». После сезона игры в испанском клубе Ален завершил карьеру профессионального футболиста.
Богоссян отклонив предложение выступать за Армению, свою историческую Родину, был игроком основы сборной Франции с 1997 по 2002 год. Участвовал в чемпионатах мира 1998 и 2002. Стал чемпионом мира в 1998 году.
На данный момент Богоссян занимает пост помощника главного тренера сборной Франции Лорана Блана.
Армянского происхождения. В 2001 году вместе с Юрием Джоркаеффом поблагодарил президента Пятой Республики за официальное признание геноцида армян. Почетный гражданин Армении.