Алеш Урбанек начал свою карьеру в своём родном городе Славишин в одноименном молодёжном команде. Его первой профессиональной командой в 1997 году стал чешский «Лерк». В начале 1999 года Урбанек перешёл в «Сигму». Именно в «Сигме» Алеш стал подавать надежду, на то что молодой левый полузащитник в скором времени станет игроком сборной Чехии. Алеш выступал за молодёжные чешские сборные в возрастной категории: 18, 20 и 21. Спустя пять лет, Алеш перешёл в российский «Спартак» из Москвы. Но проведя всего 8 матчей в составе «Спартака», в 2004 году был отдан в аренду «Спарте» из Праги.
Проведя сезон 2004/2005 в «Спарте» Алеш вернулся в «Спартак», но руководство московского клуба вновь отдала Урбанека в аренду, на этот раз словацкой «Артмедии» из Братиславы. Сезон 2005/2006 Урбанек великолепно отыграл за «Артмедию», проведя 28 матчей, по итогам сезона Алеш был включён в символическую сборную чемпионата Словакии. Проведя в последний раз в сезоне 2006/2007 в аренде в «Славии», по окончании сезона Урбанек окончательно расстался со «Спартаком» и присоединился к «Артмедии», подписав с клубом контракт на три года.