Альфонсас Баужинскас окончил Клайпедскую консерваторию по классу валторны Э. Каутского в 1930 году. С 1930 по 1968 год он был солистом оркестра Литовского театра оперы и балета. Занимался также камерной музыкой, в том числе сотрудничал со струнным квартетом Литовской филармонии. С 1934 года Баужинскас преподавал в Вильнюсской консерватории. В 1954 году ему было присвоено звание заслуженный артист Литовской ССР. В 1968 году он стал доцентом Вюльнюсской консерватории.