Родился в Рокишкисе в семье служащих. Закончил среднюю школу в Кайшядорисе (1951) и в том же году поступил в Каунасский политехнический институт. Институт закончил по специальности инженер-гидротехник (1956). Работал в различных строительных организациях.
В марте 1989 года избран народным депутатом СССР по Вильнюсскому — Ленинскому территориальному округу, был членом Верховного Совета СССР (Совет Союза).
Под руководством Бразаускаса Коммунистическая партия Литвы поддержала движение Литвы к независимости и трансформировалась в партию социал-демократического типа — Демократическую партию труда Литвы.
20 декабря 1989 года съезд КПЛ принял резолюцию о выходе из КПСС. Альгирдас Бразаускас был избран первым секретарём самостоятельной Коммунистической партии Литвы.
В январе 1990 года избран председателем Президиума Верховного Совета Литовской ССР и, по должности, стал членом Президиума Верховного Совета СССР.
В декабре 1990 на учредительном съезде Демократической партии труда Литвы (ДПТЛ, Lietuvos demokratin? darbo partija) избран её председателем.
В феврале 1990 года был избран депутатом Верховного Совета Литовской ССР, 11 марта 1990 года провозгласившего восстановление независимости Литвы и переименованного впоследствии в Восстановительный Сейм. В первом правительстве Казимеры Прунскене — заместитель премьер-министра (17 марта 1990 — 8 января 1991).
На парламентских выборах в октябре 1992 года был избран членом Сейма. Проведённый одновременно с выборами референдум принял новую Конституцию Литвы, предусматривающую пост президента. Парламент, в котором большинство голосов принадлежало ДПТЛ, 25 ноября 1992 года избрал Бразаускаса председателем Сейма и исполняющим обязанности президента Литвы.
14 февраля 1993 года был избран президентом Литовской Республики на пятилетний срок. За него проголосовало 60 % избирателей. После избрания, в соответствии с Конституцией Литвы, подал 19 февраля 1993 года в отставку с поста председателя ДПТЛ и приостановил своё членство в партии. 25 февраля 1993 года состоялась инаугурация.
6 октября 1997 года на своей последней пресс-конференции в качестве президента отказался баллотироваться на второй срок. С окончанием президентских полномочий 26 февраля 1998 года его сменил выигравший выборы в январе 1998 Валдас Адамкус.
В начале 2000 года заявил о своём возвращении в политику. Принял участие в создании коалиции левых и центристских партий. На парламентских выборах в октябре 2000 социал-демократический блок Бразаускаса получил 51 место в Сейме. Правительственную коалицию составили Союз либералов Литвы и «Новый союз (социал-либералы)».
На объединительном съезде 27—28 января 2001 Демократическая партия труда Литвы и Социал-демократическая партия Литвы (СДПЛ) объединились. Председателем нового объединения — Социал-демократической партии Литвы (Lietuvos socialdemokrat? partija) — избран Бразаускас.
После распада правоцентристской коалиции и отставки 11-ого правительства (октябрь 2000 — июнь 2001) 3 июля 2001 года Сейм утвердил Бразаускаса на должность премьер-министра.
В октябре 2005 года находящаяся в оппозиции фракция консерваторов («Союз Отечества») начала сбор подписей за создание парламентской комиссии по расследованию некоторых фактов предпринимательской деятельности жены Бразаускаса — Кристины Бутримене-Бразаускене — в частности, приобретения ею 38 % акций элитной вильнюсской гостиницы «Crowne Plaza» (бывшей гостиницы «Draugyst?», принадлежавшей Совету министров Литовской ССР и ЦК КПЛ) у супруги руководителя компании «ЛУКОЙЛ-Балтия».
Альгирдас Бразаускас отверг обвинения в коррупции, но признал, что его супруга владеет 51 % акций гостиницы, а ещё 48 % принадлежат её сыну.
Обвинения связаны с тем, что российская нефтяная компания ЛУКОЙЛ является одним из претендентов на пакет акций местного НПЗ Мажейкяй нафта, в настоящее время принадлежащий польской компании ORLEN.
22 ноября по настоянию президента страны Валдаса Адамкуса Альгирдас Бразаускас выступил по национальному телевидению, заявив, что не причастен к приватизации гостиницы, а все обвинения должны рассматривать правоохранительные органы, а не парламентская комиссия. По его словам, против него организовано «брутальное, ни с чем не считающееся наступление, чтобы я ушёл с поста». Адамкус выразил разочарование тем, что именно сказал премьер-министр в своём выступлении: «Ни общество, ни я не получили ответов, которых ожидали, чтобы развеять сомнения и вернуть жителям доверие к государственным институтам».
После распада правящей коалиции в Сейме Литовской Республики весной 2006 года и уходом из кабинета мнистров-членов Нового Союза (социал-либералов) назначения новых членов правительства сопровождалось скандалами, связанными со злоупотреблениями отдельных министров и с предполагаемыми финансовыми нарушениями Трудовой партии Литвы. После заявления президента Адамкуса о недоверии министру культуры Владимирасу Прудниковасу и министру здравоохранения Жильвинасу Падайге Бразаускас 31 мая официально объявил о своей отставке и вручил прошение о ней президенту.
Был женат вторым браком (2002; жена — Кристина Бразаускене, по первому мужу Бутримене). Две дочери, пять внуков.
Скончался 26 июня 2010 года в своём доме в Вильнюсе (в резиденции Турнишкес; лит. Turni?k?s) в результате продолжительной тяжёлой болезни (рак предстательной железы и лимфома). Ранее литовские СМИ неоднократно сообщали о том, что он болен раком и находится в тяжёлом состоянии.
В связи со смертью А.Бразаускаса в Литве был объявлен трёхдневный траур.
1 июля 2010 года состоялась заупокойная месса в католическом Кафедральном соборе Вильнюса, однако президент Литвы Даля Грибаускайте и члены семьи покойного на ней не присутствовали из-за распоряжения со стороны архиепископа Вильнюса кардинала Аудриса Юозаса Бачкиса, запретившего вносить в собор гроб с телом покойного.
В этот же день А.Бразаускас был похоронен на Антакальнисском кладбище в Вильнюсе.
Награждён высшими орденами 15 государств, другими отличиями и наградами. В том числе:
Почётный доктор
Почётный гражанин Швенчёнского района (решение самоуправления Швенчёнского района от 27 июня 2002).