Али Аббасов родился 1 января 1953 года в Шахбузском районе Нахичеванской АССР Азербайджанской ССР. В 1969 году поступил на факультет «Автоматика и телемеханика» в Азербайджанский институт нефти и химии, затем в 1972 году в целях продолжения учёбы был переведён в Московский энергетический институт, окончивший спустя четыре года по специальности "Автоматика и телемеханика". С 1977 по 1981 годы обучался в целевой аспирантуре в Академии наук Украины. В течение последующих десяти лет работал в Академии Наук Азербайджана в качестве Заведующего лабораторией и Главного инженера. В 1992 году Аббасов стал директором научного центра по информации и телекоммуникации (ныне Институт Информационных Технологий) при Национальной Академии Наук Азербайджана. В 1996 году Кембриджский биографический центр объявил Аббасова Международным Человеком года в сфере техники и технологии. С 1994 года Али Аббасов эксперт ЮНЕСКО по вопросам информации и телекоммуникации. С 1997 года действительный член Нью-Йоркской Академии Наук, с 1998 — Международной академии информатизации, с 2000 — Международной академии наук, а с 2001 года — Азербайджанская Национальная Академия Наук.
В период с 2000 по 2004 годы Али Аббасов работал ректором Азербайджанского государственного экономического университета. Одновременно был членом Милли Меджлиса Азербайджана, а в 2001-2004 годах являлся членом Парламентской Ассамблеи Совета Европы. 20 февраля 2004 года Али Аббасов был назначен министром связи и информационных технологий Азербайджана.
Женат, имеет двоих детей.