Алим Кайсынович Кулиев родился и вырос в городе Нальчик, столице Кабардино-Балкарии. Сын балкарского поэта Кайсына Кулиева. После окончания средней школы уехал в Москву, где продолжал своё образование. В 1976 году поступил на актёрский факультет Государственного института театрального искусства имени А. В. Луначарского (ГИТИС) мастерской профессора Семёна Ханановича Гушанского. В течение учёбы принимал участие в качестве актёра в репертуарных спектаклях Московского театра юного зрителя (МТЮЗ). В 1978 году был призван на службу в ряды Советской армии. Вернувшись после окончания срока службы в Москву (1980), продолжал обучение в ГИТИСе, но в силу обстоятельств, уже на факультете режиссуры эстрады на заочном отделении. В то же самое время работал рабочим сцены в учебном театре ГИТИСа. С 1981 года сыграл целый ряд ведущих ролей в спектаклях театра-студии при журнале «Театр» под руководством Александра Демидова.
В 1982 зачислен студентом второго курса актёрского отделения Всесоюзного государственного института кинематографии (ВГИК) в мастерскую народного артиста СССР, профессора Евгения Семёновича Матвеева, где перенимал опыт и тонкости актёрского мастерства у большого мастера и заканчивал своё актёрское образование. Среди однокурсников Кулиева по ВГИКУ были Наталья Вавилова, Владимир Шевельков. По окончании ВГИКа (1984) был принят в трупу Московского театра миниатюр и играл в репертуаре театра.
В 1985 после смерти отца временно перебрался к матери в Нальчик. Играл в спектакле местного Русского драматического театра им. М. Горького. Записал на радио программу о творчестве отца, написанную кинорежиссёром и сценаристом Эльдаром Кулиевым. Так же отснялся в роли ведущего в передаче о песенном творчестве народов Северного Кавказа, снятой на местном телевидении, и созданной по сценарию Эльдара Кулиева. Возвратился в Москву в 1986 году и возобновил свою работу в театре-студии под руководством Александра Демидова. В том же году женился на выпускнице актёрского факультета ГИТИСа Алёне Дунаевой.
С конца 1991 года актёр живёт в США. В период 1991—1997 годов проживал в Нью-Йорке и в различных городах штата Нью-Джерси, зарабатывая на проживание в различных областях сферы обслуживания. В 1997 году Алим Кулиев переехал из Нью-Йорка в Лос-Анджелес, где и проживает в настоящее время.
В 2005 Кулиев возвратился на сцену. Американский актёр Алекс Сол и Алим Кулиев основали новую театральную группу, в первых спектаклях которой актёр сыграл свои первые серьёзные роли в США . В 2007 году Кулиев основал свою собственную театральную компанию и приступил к работе над постановкой сценического варианта романа Михаила Булгакова «Мастер и Маргарита» в качестве актёра, режиссёра и продюсера. В то же самое время актёр начал свою карьеру в киноиндустрии Голливуда.