Во время 1-й мировой войны был взят в плен, служил в чехословацком легионе. В 1930-е гг. занимал ряд министерских постов.
Президент Протектората Богемии и Моравии Эмиль Гаха, назначая Элиаша на пост премьер-министра 27 апреля 1939 года, по-видимому, надеялся, что его прежние связи с протектором К. фон Нейратом помогут в той или иной мере отстоять интересы Чехии.
Находясь в этой должности, Элиаш поддерживал контакты с движением Сопротивления, поддерживавшим правительство Э. Бенеша в эмиграции, которые иногда носили почти открытую форму.
В начале сентября 1941 г. Алоис задумал отравить видных журналистов, сотрудничавших с нацистским режимом, и официально пригласил их к себе. 18 сентября 1941 г. Элиаш угостил журналистов бутербродами, которые он, при помощи своего уролога, отравил, впрыснув туда ботулинический токсин, туберкулёзные микобактерии и вызывающую тиф риккетсию. Единственным, кто умер после употребления бутербродов, был главный редактор журнала «Чешское слово» (?esk? slovo) Карел Лажновский. Прочие журналисты, в том числе Ярослав Кржемен и Эмануэль Вайтауэр, лишь заболели.
27 сентября 1941 г., через неделю после того, как Рейнхард Гейдрих был назначен заместителем имперского протектора (а фактически взял на себя все его полномочия), Элиаш был арестован и приговорён к расстрелу. Арест был связан не с отравлением журналистов, о котором нацисты не догадались, а с контактами Элиаша с Сопротивлением, которые к тому времени стали слишком явными.
Приговор в отношении Элиаша был приведён в исполнение 19 июня 1942 года, вскоре после покушения на Гейдриха .
В 1946 г. Элиашу в знак его заслуг перед Сопротивлением было посмертно присвоено звание генерала армии. Однако при коммунистическом режиме, в связи с тем, что Элиаш поддерживал Бенеша, а не коммунистов, он был объявлен коллаборационистом. Лишь после 1989 г. Элиаш был реабилитирован, а 7 мая 2006 г. торжественно перезахоронен на Витковском кладбище в Праге.