Рано лишившись родителей, воспитывался в детдомах. В 1933 окончил педагогический техникум во Фрунзе, работал журналистом. До 1936 работал в редакциях журнала «Чабуул», газеты «Ленинчил Жаш». Печатался с 1930. В 1935 опубликовал первый сборник стихов «Песни рассвета».
Автор сборников «Звёздная молодость», «Чолпонстан» (оба — 1937), «Любовь» (1945), «Новые песни» (1949) и др. Много писал и переводил для детей.
Работал в области драматургии: пьесы «Объездчик Кооман» (1947), «Абулкасым Джанболотов» (1948), драматическая комедия «Надо отправляться в Мерке» (1949) и др.
Поэма «Витязь в тигровой шкуре» Шоты Руставели в переводе Осмонова выдержала шесть переизданий. Перевёл произведения Пушкина, Лермонтова, Крылова и др. Награжден орденом «Знак Почёта».
Умер в тридцатипятилетнем возрасте, из-за болезни легких, в 1950. Осмонову посмертно присуждена первая премия Ленинского комсомола республики. Союзом писателей Кыргызстана учреждена литературная премия им. Алыкула Осмонова. Премия Алыкула Осмонова являлась в Киргизии третьей по значимости премией среди писателей, после Всесоюзной Премии имени Ленина и Киргизской Государственной Премии имени Токтогула Сатылганова. В целях изучения жизни и творчества поэта в 1994 создан республиканский общественно-литературный фонд.