Анастасия Меськова родилась 23 июля 1985 года в Москве, в семье преподавателей МГУ. Настя Меськова с детства готовила себя к карьере актрисы, с 1989 года стала заниматься балетом, с 1993 года — профессионально. Первый её педагог — Наталья Игоревна Ревич, научила Настю основам классической школы. В дальнейшем Настя танцевала в ансамбле имени В. Локтева. В 1990 году Настя стала лауреатом фестиваля искусств МГУ-90. В 1992 году прославилась, победив в телевизионном конкурсе «Утренняя звезда».
В 1993 году Анастасия поступила в Московскую государственную академию хореографии (МГАХ).
В «Артеке» Настя познакомилась с Владимиром Грамматиковым. Знакомство с режиссёром не прошло бесследно — Грамматиков предложил юной актрисе (на тот момент она уже снималась в эпизодах двух фильмов) главную роль. В 1997 году Настя исполнила главную роль в его фильме «Маленькая принцесса». За этот фильм Настя Меськова получила Большую золотую медаль Московского кинофестиваля и премию «Золотой Овен-98» за лучшую детскую роль.
В 1999 году Настя получила диплом — стипендию Благотворительного фонда содействия развитию хореографического искусства имени Мариса Лиепы. Участвовала в гастролях академии хореографии в Японии, Германии, Израиле, Норвегии.
Сын — Василий
Молодой человек - Николя, артист балета
Брат — Сергей Меськов, журналист
Сестра — Екатерина
Отец — Валерий