В 1976-1977 гг. работал трактористом Старосельского лесничества Чашникского района Витебской области. В 1977-1979 годах проходил службу в Вооруженных Силах.
В милиции служит с 1980 года, начав службу милиционером полка по охране зданий совпарторганов, объектов, учреждений Госбанка в Минске.
В 1986 году окончил Минскую высшую школу МВД СССР (сегодня Академия МВД РБ), в 1992 году — Академию МВД СССР. Специальность по образованию – правоведение, организация правоохранительной деятельности.
Работал после окончания Минской высшей школы МВД СССР оперуполномоченным по делам несовершеннолетних ОУР Ленинского РОВД Минска. Служил в уголовном розыске на разных должностях, в том числе в УВД Мингорисполкома. С ноября 1992 года возглавлял отделение УР Ленинского РОВД, затем - криминальную милицию райотдела.
В марте 1995 был назначен заместителем начальника управления угрозыска УВД города Минска.
С 1996 по 1998 годы руководил управлением внутренних дел Заводского района столицы. С 1998 по 2001 возглавлял Фрунзенское РУВД.
8 мая 2001 года возглавил УВД Гомельского облисполкома.
В июне 2003 года Кулешову присвоено специальное звание «генерал-майора милиции». 2 июля 2003 года указом президента №281 был назначен начальником главного управления внутренних дел Минского горисполкома (заняв место Александра Рака).
29 августа 2008 года - назначен первым заместителем министра внутренних дел - начальником криминальной милиции Беларуси. 5 декабря 2008 года был назначен первым заместителем министра внутренних дел - начальником криминальной милиции МВД Республики Беларусь.
6 апреля 2009 года был назначен временно исполнять должность министра внутренних дел (после отставки Министра внутренних дел Владимира Наумова по состоянию здоровья).
2 июня 2009 года Президент Республики Беларусь А.Г. Лукашенко своим Указом № 280 назначил генерал-майора милиции Анатолия Ниловича Кулешова министром внутренних дел страны, освободив его от должности первого заместителя министра - начальника криминальной милиции.