Родился в 1941 году в Пятигорске, окончил Ленинградский университет (1967 год), был учеником Н. А. Мещерского по кафедре русского языка. Обучался в аспирантуре института языкознания АН СССР (1967—1970 годы). В 1973 году в нём защитил кандидатскую диссертацию на тему «Общественно-политическая лексика русского языка XVIII века», в 1984 году в Ленинградском университете защитил докторскую диссертация на тему «Переводческое наследие Кирилла и Мефодия и его судьбы в славянской письменности». Участвовал в издании институтом языкознания «Словаря русского языка XVIII века» (1970—1989 годы). С 1989 года работает в Отделе древнерусской литературы Института русской литературы РАН. С 1998 года профессор Санкт-Петербургской духовной академии, с 2003 года профессор Санкт-Петербургского государственного университета, возглавляет созданную им кафедру библеистики на факультете филологии и искусств.
Алексеев А. А. является основателем и главой Славянской Библейской комиссии при Международном комитете славистов (1988 год), член Патриаршей синодальной Библейской комиссии (1990 год), Общества исследователей Нового Завета (1996 год), Содружества православных библейских богословов (Греция, 1997 год).
А. А. Алексеев является автором около 200 работ по вопросам истории русского языка и литературы, теории и практики библейского перевода, лексикологии и истории славянских переводов Библии. Является автором ряда статей в «Православной энциклопедии».
К наиболее значимым работам последних лет относятся: