Вырос на юге России, летом жил в имении своего отца, зимой — в Елисаветграде, где отец преподавал в юнкерском училище. Величковский был офицером в Добровольческой армии и эмигрировал через Польшу во Францию. Здесь он был сначала рабочим на металлургическом заводе в Канне, потом шофёром такси в Лионе. Во время второй мировой войны он окончательно переселился в Париж.
Жена — киевлянка второй волны эмиграции Нина Ровская.
Стихи Величковского с 1947 печатались в журналах и антологиях. Его первый сборник «Лицом к лицу» (1952) опубликовал Сергей Маковский в издательстве «Рифма», затем, вслед за публикацией самого большого прозаического произведения Величковского — сатирической повести «Богатый» (1972), последовал его второй сборник стихов «С бору по сосенке» (1974). Третий сборник стихов называется «О постороннем» (1979). После его смерти друг поэта Ренэ Герра опубликовал тиражом 200 экземпляров еще один сборник стихов под названием «Нерукотворный свет» (1981), подготовленный к печати самим поэтом. «А.Величковского можно назвать поэтом-экологом, первым поднявшим свой голос в защиту природы». (Р. Герра)
(Вольфганг Казак)