Анатолий Федорович Сидоров родился в г. Ленинграде. В 1950 году поступил на математико-механический факультет ЛГУ, который закончил с отличием. В 1955 году А.Ф.Сидоров в составе группы математиков был отправлен в город Саров для работы в ВНИИЭФ, потом во вновь созданный ВНИИТФ в городе Снежинске. Предварительно группа прошла стажировку в ОПМ МИАН (ныне Институт прикладной математики РАН) под руководством Н.Н. Яненко.
С 1963 года А.Ф. Сидоров - заведующий отделом прикладных задач в Свердловском отделении Математического института имени В. А. Стеклова (позднее - Институт математики и механики Уральского отделения АН СССР-РАН), а с 1993 года А.Ф. Сидоров - директор Института. Академик РАН (1991), член-корреспондент АН СССР (1987), доктор физико-математических наук (1969).
Основные направления научной деятельности: аналитические методы исследования краевых задач в газовой динамике и гидродинамике и численные методы решения сложных краевых задач механики сплошной среды. В частности, А.Ф.Сидоровым впервые выведены уравнения тройных волн, построены серии точных решений, доказаны теоремы о примыкании бегущих волн различных рангов, развиты методы специальных и характеристических рядов для нелинейных задач газовой динамики, с помощью которых решены задачи об истечении газа в вакуум из замкнутых объемов, о разрушении потенциальных течений, о распространении ударных волн.
Награжден орденом Трудового Красного Знамени и двумя медалями.