Родился в 1905 году в поселке Обухово (в нынешнем Ногинском районе Московской области) в семье продавца фабричной лавки при местной льно-прядильной фабрике. В семье было тринадцать детей. Анатолий был двенадцатым.
В 1918 году после окончания начальной школы его устроили работать на фабрику учеником слесаря. Учебу продолжил в вечерней школе. В 1920 году его командировали в техникум в Москву. В 1922 году техникум был преобразован в технический институт им. М. В. Ломоносова и Брунова переводят на рабфак при этом институте. После окончания рабфака поступил в МВТУ.
На последнем курсе МВТУ Брунов работал в ОКБ Н. Н. Поликарпова на заводе № 25 Авиатреста. Защитив диплом, остался работать здесь же инженером-конструктором. В августе 1930 года завод № 25 сливается с заводом № 39 и Анатолия Григорьевича назначают начальником бригады фюзеляжа в ОКБ завода.
В 1937—1939 годах его перевели на завод № 301 в подмосковных Химках заместителем главного конструктора. Затем Брунов ушел в поликарповское ОКБ на заводе № 1 им. Сталина инженером-конструктором — помощником главного конструктора. 21 января 1940 года он был зачислен в недавно организованный особый конструкторский отдел А. И. Микояна ведущим инженером. Потом он был назначен ведущим программы испытаний МиГ-1 и позже — ведущим инженером по МиГ-3 и не пошедшему в серию двухмоторному МиГ-5.
В конце 1966 года Брунов ушел на пенсию.
Умер в 1972 году. Похоронен на Введенском кладбище Москвы.