Родился в семье участницы Великой Отечественной войны, отец пропал на фронте. После второго брака матери семья жила в Волгограде, там же окончил школу. Окончил Ульяновское танковое училище, Военную академию бронетанковых войск имени Р. Я. Малиновского. Служил в Северо-Кавказском военном округе, Группе советских войск в Германии, Белорусском военном округе, в Калининграде и в Москве. В июне 1985 года — августе 1988 года командовал 10-й гвардейской Уральско-Львовской танковой дивизией.
Последняя должность — командир 42-го армейского корпуса в Северо-Кавказском военном округе. Штаб корпуса дислоцирован во Владикавказе. Подразделения корпуса оказались в эпицентре осетино-ингушского межнационального конфликта. Обе воюющие стороны нападали на воинские части и склады, захватывали в заложники военнослужащих. Генерал-майор Корецкий активно участвовал в переговорах по освобождению заложников и в попытках мирного урегулирования конфликта, при этом выступая против попыток использовать воинские части против любой из конфликтующих сторон.
1 августа 1993 года вместе с главой Временной администрации в зоне конфликта Виктором Поляничко генерал Корецкий выехал на переговоры с ингушскими полевыми командирами. В пригороде Владикавказа, в районе села Таркское Пригородного района Северной Осетии, автомобиль был обстрелян из засады неизвестными. Кроме генерала Корецкого, были убиты Виктор Поляничко и офицер антитеррористической группы «Альфа» Главного управления охраны ФСК России старший лейтенант Виктор Кравчук. В теле каждого из убитых было обнаружено более 10 огнестрельных ран. Ещё четверо военнослужащих получили ранения.
Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.
Убийство осталось нераскрытым. В 2000 году публиковалась информация, что ФСБ России подозревает в совершении преступления захваченного в плен полевого командира одного из чеченских незаконных формирований Юрия Хицкиева. Однако затем о суде над Хицкиевым ничего не сообщалось.
Улица в посёлка Кабардинка — пригороде Геленджика — переименована в улицу имени Анатолия Корецкого.