Анатолий Кудрявицкий родился в Москве 17 августа 1954 года. Его отец, офицер российского флота, происходил из Польши. После окончания Московского медицинского института Анатолий Кудрявицкий работал исследователем в области иммунологии, журналистом, литературным редактором в журналах «Знание — сила», «Огонек», редактором поэзии в журнале «Иностранная литература», заместителем главного редактора литературного журнала «Стрелец». В конце 1970-х — начале 1980-х был одним из авторов самиздата. Первый рассказ опубликовал в 1989 году, первую подборку стихов - в 1990 году. В 1993—1995 годах входил в поэтическую группу мелоимажинистов.
Анатолий Кудрявицкий — автор романа «Истории из жизни сыщика Мыллса» (издательство «Захаров», 2008), повестей «Парад зеркал и отражений» (2009) и «Путешествие улитки в центр раковины» (2010), а также семи книг стихов на русском языке, три из которых — «Поле вечных историй» (1996), «Граффити» (1998), «Книга для посетителей» (2001) — вышли в издательстве «Третья волна» (Москва — Париж — Нью-Йорк). Книга стихов «Граффити» была номинирована Генрихом Сапгиром на премию «Антибукер» за 1998 год. Говоря о «Книге для посетителей», критики отмечали:
Переводческую деятельность Анатолий Кудрявицкий начал в 1983 году. В его переводах публиковались роман Джона Голсуорси «Джослин», роман Уильяма Сомерсета Моэма «Вилла на холме», книги рассказов Артура Конан Дойла и Стивена Ликока, Полное собрание стихотворений Стивена Крейна, «Лирика» Эмили Дикинсон, «Избранные стихотворения» Джима Моррисона, «Антология имажизма», а также стихи современных ирландских, английских и американских поэтов. Он также переводил стихи русских поэтов на английский.
В 2010 году входил в состав жюри Дублинской литературной премии .