Отец — Михаил Никитич Гелескул (1907—1982) — уроженец села Калниболото Надлакской волости Елисаветградского уезда Херсонской губернии (ныне — Новоархангельский район Кировоградской области Украины), некоторое время проживал и работал в селе Новокашпирском (местное название — Кашпир-Рудник; с 1997 года входит в состав Сызрани) Самарской области,, затем в Москве. Горный инженер, доктор технических наук, профессор Московского горного института, автор нескольких справочников по горной выработке полезных ископаемых. В 1937 году арестован органами НКВД, уголовное дело прекращено за недоказанностью обвинения.
Мать — Дзюбенко Галина Григорьевна — врач-фтизиатр.
Анатолий Михайлович учился в Московском геологоразведочном институте им. С. Орджоникидзе, был отчислен с 3-го курса геофизического факультета по состоянию здоровья, закончил Московской институт нефтехимической и газовой промышленности, до 1968 работал в геологоразведочных партиях на Кавказе. Печатался с 1957. Был женат на филологе-испанисте Н. Р. Малиновской, дочери маршала Малиновского.
В конце жизни практически ослеп, но продолжал работать благодаря помощи жены. Скончался 25 ноября 2011 года после долгой и тяжелой болезни.
Похоронен на Введенском кладбище в Москве.
Наиболее известные работы: с испанского — народные песни, Хорхе Манрике, Гарсиласо де ла Вега, Сан-Хуан де ла Крус, Кеведо, Росалия де Кастро, Мачадо, Хименес, Леон Фелипе, Лорка, Вальехо, Уидобро, Эрнандес, Пас, Пабло Неруда, Элисео Диего, Синтио Витьер; с французского — Теофиль Готье, Нерваль, Бодлер, Верлен, Аполлинер; с португальского — Пессоа; с немецкого — Рильке; с польского — Мицкевич, Норвид, Лесьмян, Ивашкевич, Галчинский, Стафф, Лехонь, Бачинский, Боровский и др. поэты поколения Колумбов, Т.Новак, Харасымович, Шимборская, Милош, Твардовский, с чешского — Витезслав Незвал. Переводил также драмы (Лорка) и прозу (Ортега-и-Гассет, Хименес). Публиковал статьи о зарубежной словесности и о русской поэзии (Мария Петровых, Давид Самойлов, Анатолий Якобсон, Наталия Ванханен).
Его влияние на русский поэтический перевод, на сами представления о переводе стихами было подспудным (он никогда не преподавал и даже в личных беседах не учил), но огромным, хотя и трудно измеримым. Лауреат премий «Инолиттл» (1996), «Иллюминатор» (2001), первый лауреат премии «Мастер» (2006).