Родился в городе Кадиевка) Ворошиловградской области Украинской ССР, ныне Стаханов (город) Луганской области Украины. Русский. Из семьи донецкого шахтёра, участника Великой Отечественной войны.
В Вооруженных Силах с 1959 года. Направлен на обучение в Кременчугское военное авиационное училище первоначального обучения лётчиков. Однако в 1960 году оно было расформировано, а часть курсантов, в том числе А. Корнуков — переведены в Черниговское военное авиационное училище лётчиков имени Ленинского комсомола, которое он окончил с красным дипломом в 1964 году. После училища распределён в 54-й гвардейский Керченский Краснознаменный истребительный авиационный полк Войск противовоздушной обороны СССР, служил лётчиком, заместителем командира истребительной эскадрильи.
В 1970 году переведён в 47-й истребительный авиационный полк на Дальнем Востоке на должность заместителя командира авиационной эскадрильи по политической части. С 1971 года — командовал истребительной авиационной эскадрильей. С 1972 года — заместитель командира, а в 1974 — 1976 годах — командир 777-го истребительного авиационного полка (остров Сахалин). За период службы в Войсках противовоздушной обороны СССР совершил свыше 150 вылетов на разведку и перехват воздушных целей, предупреждение и пресечение нарушения воздушного пространства СССР.
С 1976 года — заместитель командира корпуса противовоздушной обороны на Дальнем Востоке. С 1978 года — заместитель начальника авиации 11-й армии противовоздушной обороны на Дальнем Востоке. В 1980 году — заочно окончил Военную академию противовоздушной обороны имени Маршала Советского Союза Г. К. Жукова.
В 1980 — 1985 годах — командир 40-й истребительной авиационной дивизии в Войсках ПВО страны на Дальнем Востоке. Полки дивизии дислоцировались в Советской Гавани, на Сахалине и на Курильских островах. Находясь в этой должности, 1 сентября 1983 года отдал приказ об уничтожении южнокорейского пассажирского самолёта «Боинг-747», дважды вторгавшегося в советское воздушное пространство у берегов Камчатки и Сахалина (см. Инцидент с южнокорейским Боингом (1983). При этом Корнуков отдал приказ самостоятельно, под личную ответственность, поскольку его вышестоящее командование не рискнуло взять ответственность на себя. Впоследствии Корнуков никогда не уклонялся от вопросов на эту тему, всегда подчеркивая, что его приказ был основан на нормах международного и советского права. Сам же полёт южнокорейского «Боинга» он полагает провокацией со стороны США, рассчитанной на выявление действий советской противовоздушной обороны и на ухудшение советско-американских отношений. За это своё решение Корнуков не был ни награждён, ни наказан.
С 1985 года — командир 71-го истребительного авиационного корпуса Войск противовоздушной обороны СССР, дислоцировавшегося в Германской Демократической Республике. В состав корпуса входили две дивизии и 6-ть отдельных полков ПВО. В 1988 году окончил Военную академию Генерального штаба Вооруженных Сил имени К. Е. Ворошилова. С 1988 года — первый заместитель начальника авиации Войск противовоздушной обороны страны. С 1989 года — первый заместитель командующего, а с 1990 года — командующий 11-й отдельной армией противовоздушной обороны (штаб-квартира — г. Хабаровск. Армия была крупнейшей в СССР, прикрывала огромную территорию и включала в себя 4-ре корпуса ПВО, две отдельные дивизии ПВО, большое количество отдельных частей.
С августа 1991 года — командующий Московским округом противовоздушной обороны, прикрывавшим военные и гражданские объекты на территории 29 субъектов Российской Федерации. Когда в конце 1997 года Военно-воздушные силы Российской Федерации и Войска противовоздушной обороны Российской Федерации были объединены в единый род войск — Военно-воздушные силы Российской Федерации, то их первым Главнокомандующим в январе 1998 года был назначен генерал-полковник А. М. Корнуков. Провёл всю практическую работу по объединению ВВС и ПВО, при этом сохранив их потенциал. Воинское звание генерал армии присвоено указом Президента Российской Федерации В. В. Путина от 21 февраля 2000 года.
С января 2002 года — в запасе, уволен по достижении предельного возраста пребывания на военной службе. В прессе того времени была широко распространена версия, что планировалось продление срока военной службы Корнукова на 2 или 3 года (такими полномочиями обладает Президент Российской Федерации), но этого не произошло и Корнуков был уволен в запас из-за упорного отрицания им факта поражения украинской ракетой класса «земля-воздух» российского пассажирского самолёта Ту-154 (см. Авиакатастрофа над Чёрным морем 4 октября 2001).
За период своей военной службы освоил 8-мь типов реактивных самолётов, имеет налёт свыше 3 000 часов. Кандидат военных наук.
Живёт в Москве. С 2002 года работает заместителем Генерального директора НПО «Алмаз» по вопросам военно-технической политики. НПО «Алмаз» является головным предприятием военно-промышленного комплекса Российской Федерации, занимающееся разработкой зенитно-ракетных комплексов и иных средств противовоздушной обороны.
Женат, супруга Людмила Васильевна (1942 г. рожд.), заслуженный учитель Российской Федерации, преподаватель математики, физики и черчения с одной из московских школ. Сын Сергей (1966 г.рожд.) — полковник ВС России, служит в Генеральном Штабе. Дочь Татьяна (1973 г.рожд.) — капитан таможенной службы.