А. Н. Александров родился 13 (25) мая 1888 года в Москве в музыкальной семье. Его мать была пианисткой, она дала ему первые уроки игры на фортепиано. В годы детства семья часто переезжала и с 1906 года стала снова жить в Москве. Тогда мать Александрова решила найти для своего сына учителя. После встречи с С. И. Танеевым он стал заниматься сначала с учеником Танеева Н. С. Жиляевым, а потом с самим Танеевым.
В 1910 году Александров поступил в Московскую консерваторию, где изучал пианино под руководством К. Н. Игумнова (до 1915 года) и музыкальные произведения под руководством С. Н. Василенко. В 1916 году он завершил своё музыкальное обучение с золотой медалью.
Принимал участие в Первой мировой войне и позже сражался в РККА в Гражданской войне.
Все последующие годы, вплоть до 1974, Анатолий Николаевич Александров выступал на концертах как пианист с исполнением своих произведений. В 1918—1919 гг. композитор работал в Наркомпросе, с 1919—1920 — дирижёром в Камерном театре, с 1922—1923 — дирижёром и редактором Радиовещания. С 1923 года преподавал в МГК имени П. И. Чайковского, с 1926 года — профессор. В течение ряда лет Александров был председателем секции детской музыки Союза композиторов СССР.
А. Н. Александров умер 16 апреля 1982 года. Похоронен в Москве на Введенском кладбище.
Оперы «Два мира» (1916), «Бэла» (1941, 2-я редакция 1945); «Дикая Бара» (1957), «Левша» (1975); 14 сонат для фортепиано; струнные квартеты; романсы; вокальная сюита «Верность» (1950), свыше 150 детских песен, в том числе циклы «Стройка», «Дуда», «Летние заботы».