Родился в Балашове Саратовской губернии в семье крестьянина. Русский.
Окончил Мичуринский институт плодово-ягодных культур в 1935 году. С 1935 года на научной работе.
С 1941 по 1946 год — в рядах Советской Армии, воевал на фронте. В 1941 году был политруком роты стрелкового полка, в 1945 году находился в звании командира стрелкового полка Витебской Краснознаменной стрелковой дивизии.
С 1950 года находился на партийной работе. С 1957 по 1960 год — первый заместитель председателя исполкома Ленинградского областного Совета, с 1960 по 1961 год — секретарь Ленинградского обкома КПСС.
С 1961 по 1985 год — первый секретарь Вологодского обкома КПСС. Во время его нахождения в должности строился Череповецкий металлургический комбинат, в области появилась разветвленная сеть дорог, были построены многие птицефабрики. Именно при нём сельское хозяйство достигло своего расцвета, а надои молока были рекордными по стране. Развернулось строительство металлургического комбината (современного «Северсталь»), построены химические предприятия Череповца, подшипниковый и оптико-механический заводы в Вологде. А. С. Дрыгин признавался: «Я — агроном, а приходится заниматься металлургией. Поверьте, это непросто». При нём были построены здания педагогического и политехнического институтов, завод «Луч», Вологодский станкозавод, птицефабрика «Вологодская». В области работала уникальная программа по строительству жилья, появились первые многоэтажные дома в Вологде.
Избирался депутатом Верховного Совета СССР 6—11 созывов, член ЦК КПСС с 1971 по 1986 год.
С 1985 года — на пенсии.
Умер в 1990 году. Похоронен в Москве на Троекуровском кладбище.
Михаил Фёдорович Сычёв:
«Анатолий Семенович относился к тому типу людей, в буквальном смысле страдающих любовью к Отечеству, но не приукрашивающих его прошлое и не питающих иллюзий относительно его настоящего, он был постоянно устремлен к достижению лучшего будущего. Его деятельность в этом плане была не только многогранной, но и весьма продуктивной».