Анатолий Сергеевич Александров родился 20 ноября (3 декабря) 1899 года в Новороссийске в семье рабочего.
С 1917 года Анатолий Александров работал чертёжником на арматурно-электромеханическом заводе в Петрограде.
В 1918 году вступил в Красную Армию и в том же году закончил Петроградские артиллерийские командные курсы. После окончания курсов принимал участие в Гражданской войне в качестве командира взводом, артиллерийской батареей, начальника команды разведчиков на Южном и Западном фронтах. После окончания Гражданской войны служил до 1924 года в Московском округе.
С 1924 по 1928 годы Александров работал токарем на заводе «Красный арсенал».
С 1928 года Анатолий Александров вновь служил в Армии.
В 1932 году окончив Военно-политическую академию РККА имени Дзержинского в Ленинграде, был назначен на пост начальника учебной части, старший преподаватель, заместитель начальника кафедры в Военной академии механизации и моторизации РККА имени И. В. Сталина в Москве, где оставался до 1938 года.
С 1938 по 1947 годы Александров работал заместителем заведующего Секретариатом Совета Народных Комиссаров СССР, заместителем члена Государственного Комитета Обороны по боеприпасам, помощником заместителя председателя Совета Министров СССР.
Постановлением № 199 Совета Народных Комиссаров СССР от 22 февраля 1943 года Анатолию Сергеевичу Александрову присвоено воинское звание «генерал-майор инженерно-технической службы».
С 1947 по 1951 годы работал заместителем начальника Первого Главного Управления при СНК СССР, одновременно являясь в эти годы одним из руководителей работ по созданию советского атомного оружия.
29 августа 1949 года Александров присутствовал на Семипалатинском полигоне (Казахская ССР) во время испытания первой отечественной атомной бомбы.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 октября 1949 года «О присвоении звания Героя Социалистического Труда научным, инженерно-техническим и руководящим работникам научно-исследовательских, конструкторских организаций и промышленных предприятий» с грифом «Не подлежит опубликованию» «за исключительные заслуги перед государством при выполнении специального задания» Анатолию Сергеевичу Александрову присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и медали «Серп и Молот».
С 1951 по 1955 годы Александров работал начальником «КБ-11» Приволжской конторы «Главгорстроя» (сейчас Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики) Министерства среднего машиностроения СССР.
За исключительные заслуги перед государством в области строительства и организации отечественной промышленности и успешное руководство работой по созданию советского атомного оружия Анатолию Сергеевичу Александрову в 1951 году ему присуждена Сталинская премия, а в 1953 году дважды присуждена Сталинской премии.
С 1955 года Александров работал директором предприятия «почтовый ящик» № 285 ПГУ при Совете Министров СССР.
Анатолий Сергеевич Александров жил в Москве, где и умер 29 марта 1979 года.