Анатолий Калинин родился 21 ноября 1939 года в старинном русском городе Шуя. С детства увлекся разгадыванием и созданием головоломок, которые публиковались на страницах журналов для детей. Окончил школу в Шуе, после чего закончил МИРЭА (Московский институт радиотехники электроники и автоматики). Работает инженером в вычислительном центре ГНЦ РФ ФГУП НАМИ. Затем, возглавляет вычислительный центр ЦНИИЭП жилища, где работает до завершения своей профессиональной карьеры.
В середине 1970-х годов начинает заниматься созданием головоломок. В это время в Советском Союзе никто не занимался головоломками на серьезном уровне, за всё время существования патентного права в СССР, Анатолий Калинин был вторым человеком, подавшим заявку на изобретение игрушки-головоломки и получившим авторское свидетельство. Головоломка состояла из переплетенных колец, а ее цель заключалась в том, чтобы найти единственное кольцо-ключ, отцепив который, можно было освободить все кольца. Задача имела единственное решение. Развивая эту тему, Калинин пишет и публикует свою первую статью «Эта удивительная вязь колец…», напечатанную физико-математическим журналом для школьников «Квант». Затем следует серия публикаций, посвященных головоломкам в журналах «Наука и жизнь», «Юный техник», «Семья и школа», «Математика в школе» и «Культура и трезвость».
В конце 1980-х и начале 1990-х годов в Ленинграде Владимир Николаевич Белов организовал издание трех книг о головоломках: «Игра? Игра!», «В лабиринтах игр и головоломок» и «Калейдоскоп головоломок», в написании которых Анатолий Тимофеевич участвовал. С коллегой по журналу «Квант» В. Н. Дубровским, Калинин написал книгу «Математические головоломки» и в 1990-м году была издана ее первая часть: «До и после кубика Рубика». Выходу в свет второй части: «Семья кубика Рубика» помешала перестройка.
В 2000 году, Анатолий Тимофеевич выходит на пенсию и полностью отдается написанию книг. Несколько лет Анатолий Калинин занимается исследованием и собиранием сосудов с секретами. Результатом этой работы стала книга «Русские и зарубежные сосуды с секретами». Автор книги опубликовал свой труд под свободной лицензией, разрешая любое использование материалов книги для бесплатных публикаций. Анатолий Калинин собрал самую большую в мире коллекцию русских сосудов с секретами, сейчас она передана в Краеведческий музей города Шуи Ивановской области.
В 2011 году издается книга Анатолия Калинина «Видение тайны. Загадочные картины в прошлом и настоящем». Это первая книга на русском языке, посвященная не только зарубежным, но и русским картинам и объектов с секретами в мировом искусстве. В ней рассказывается о зрительных загадках, спрятанных художниками в живописных полотнах, гравюрах и рисунках. Этот жанр существует в мировом искусстве несколько веков. В книге собрано более 500 картин и объектов. «Обманное» искусство — привлекательный для зрителей, но трудный для художников жанр живописи, требующий от тех и других изощрённой работы ума. Загадочные изображения достаточно трудно найти в музеях и картинных галереях, они остаются малоизвестной частью изобразительного искусства, что и явилось одной из главных причин написания книги.
Анатолий Тимофеевич продолжает заниматься разработкой и созданием головоломок. Для ежегодных встреч и съездов любителей головоломок международного, всероссийского и прочих уровней Анатолий Тимофеевич создает различные головоломки, нередко своими руками и из подручных материалов.