Родился 4 августа 1974 года в Ростове-на-Дону. Лет с двадцати начал сочинять песни и стихи, выступая с ними сольно и в составе разных групп в Ростове, близких к нему городах, Москве. Был участником ростовской группы «Иванов день» (Анатолий Багрицкий — Александр Рейтер — Михаил Малышев). В феврале 2001 года в Ростове-на-Дону на студии группы «Амурские волны» был записан дебютный альбом Анатолия «Осенее молоко».
В 2000 году в Москве Багрицкий познакомился с Михаилом Башаковым и по его совету переехал в Санкт-Петербург. В Петербурге Анатолий дружит и сотрудничает с Кириллом Комаровым, Михаилом Башаковым, Дмитрием МаксимачЁвым, Настей Макаровой (группа «Ступени»), а также группой «Зимовье зверей» (Константин Арбенин, Александр Петерсон). Все перечисленные музыканты — постоянные участники петербургского фестиваля поющих поэтов «Могучая кучка», который с 1999 года проводит группа «Зимовье зверей».
В 2003 году Анатолий Багрицкий и Александр Петерсон, музыкант, аранжировщик и директор группы «Зимовье зверей», начинают регулярно выступать дуэтом. Спустя год выходят в свет их концертный альбом «Первое сентября» и сборник стихов Багрицкого «Террикон».
В 2007 году издан альбом «Ребята» — совместная работа с Алексеем Федичевым (ДДТ). Все тексты песен написал Багрицкий, практически всю музыку — Федичев.
В настоящий момент Анатолий выступает как сольно, так и с проектом «Ребята», а также в качестве музыканта (баян, губная гармошка, хармониум) в составе групп: «Ступени», «Проект МА», «Кирилл Комаров и Друзья».
Как музыкант принимал участие в записи альбомов «Рано или поздно» (1994, 2004), «Радость. Смертельно» (2007), «Путь дурака» (2009) и «Змея» (2011) Кирилла Комарова, а также «Кофе с дождем» (2007) и «Пустяк» (2008) группы «Ступени», «Хореография» (2008) Дмитрия МаксимачЁва, «Одноимённые песни» (2010) Константина Арбенина.
Снялся в эпизодической роли в фильме Александры Сашневой «Наркоза не будет».
Студийные альбомы
Концертные альбомы
Участие в сборниках и трибьютах