Родился 10 марта (23 марта по новому стилю) 1908 года в селе Белая Глина Ставропольской губернии в семье священника. Семья из династии священнослужителей Тульской губернии. Русский. Детство провёл в городе Ейск ныне Краснодарского края. Работал подручным в кузнице, учеником слесаря, мотористом косилки, помощником шофёра на маслобойном заводе.
В Красной Армии с 1926 года. В 1927 году окончил Ленинградскую военно-теоретическую школу ВВС, в 1928 году — Севастопольскую школу морских лётчиков. Служил в строевой части ВВС Краснознамённого Балтийского флота, затем — лётчиком-инструктором в Ейской школе морских лётчиков. С 1933 года — в запасе. Работал пилотом в Дальневосточном управлении Гражданского Воздушного флота (ГВФ).
В 1934 году А. В. Ляпидевский принимал участие в спасении челюскинцев. Совершил 29 поисковых полётов в пургу и в ненастье, прежде чем 5 марта 1934 года, обнаружив их лагерь, совершил посадку на льдину и вывез оттуда 12 человек — 10 женщин и 2 ребенка.
За мужество и героизм, проявленные при спасении челюскинцев, Ляпидевскому Анатолию Васильевичу 20 апреля 1934 года присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина (№ 515). 4 ноября 1939 года, при вручении медалей «Золотая Звезда», ему была вручена медаль № 1.
С 1935 года вновь в рядах армии. В 1939 году окончил инженерный факультет Военно-воздушной академии имени Н. Е. Жуковского. С 1939 года — заместитель начальника Главной инспекции Народного комиссариата авиационной промышленности, директор авиационного завода № 156 (г. Москва, с октября 1941 года — г. Омск).
Участник Великой Отечественной войны: в сентябре 1942 ? сентябре 1943 — заместитель командующего ВВС 19-й армии, начальник полевого ремонта 7-й воздушной армии (Карельский фронт).
С 1943 года — вновь директор авиационного завода. После окончания войны работал главным контролёром Госконтроля СССР, заместителем министра авиационной промышленности, директором завода Министерства среднего машиностроения. С 1961 года генерал-майор авиации А. В. Ляпидевский — в запасе.
Умер 29 апреля 1983 года, простудившись на похоронах В. Молокова. Похоронен в Москве, на Новодевичьем кладбище.
Почтовый конверт России: Первые Герои Советского Союза: А.В. Ляпидевский, С.А. Леваневский, М.В. Водопьянов, В.С. Молоков, И.В. Доронин, М.Т. Слепнев, Н.П. Каманин
Почтовая марка СССР
Почтовый конверт России