А. Я. Флауме родился 15 февраля 1912 года в Екатеринодаре в семье банковского служащего. Семья Флауме эмигрировала в Латвию вскоре после окончания Гражданской войны. В 1930 году в Риге А. Я. Флауме окончил русскую гимназию и в том же году поступил на филологический факультет Латвийского Университета.
В школьные годы был участником культурно-просветительного кружка при рижской городской средней школе. Опубликовал свои первые стихотворения в журнале «Школьные годы», издававшимся участниками этого кружка.
Во время учёбы в университете был активным членом рижской русской студенческой корпорации «Рутения», участником которой А. Я. Флауме оставался и после окончания университета и в Риге, и позже за границей.
А. Я. Флауме работал учителем. Был женат на Татьяне Борисовне Трофимовой.
В 1939 году в Риге он опубликовал свои стихи в сборнике «Песенник Рутении».
В годы Великой Отечественной войны сотрудничал с оккупационными властями. Под его авторством вышел русский букварь, сборники стихотворений, в которых пропагандировал идею, что возрождение России невозможно без помощи гитлеровских войск. В 1944 бежал в Германию.
После окончания войны в городе Вангене организовал русскую школу для русских «перемещённых лиц» во французской зоне оккупации. Затем он переехал в американскую зону оккупации и там в городе Обераммергау преподавал русский язык чинам американской армии.
В 1951 году с семьёй эмигрировал в США, где сначала преподавал русский язык в армейской школе иностранных языков. Далее он поступил на филологический факультет Пенсильванского Университета в Филадельфии, который заканчил в 1960 году и получил учёную степень доктора. В должности профессора преподавал в начале в Пенсильванском Университете, затем в Джорджтаунском университете в Вашингтоне.
А. Я. Флауме скончался после долгой болезни 27 ноября 1989 года.