Окончил Таллинскую консерваторию (1977) по классу Энделя Липпуса. Ещё студентом первого курса организовал в 1972 году ансамбль старинной музыки Hortus Musicus (лат. Музыкальный сад), бессменным руководителем которого с тех пор является. Уже в 1974 г. на фирме «Мелодия» вышел первый диск (со средневековой музыкой), записанный ансамблем.
За почти сорок лет работы ансамбля Мустонен гастролировал во многих странах (неоднократно в России), принимал участие во многих музыкальных фестивалях, осуществил более трёх десятков записей в Эстонии и за рубежом. Основатель и художественный руководитель международного Фестиваля барочной музыки в Таллине (ежегодно, с 1989). В качестве скрипача и дирижёра он выступал и с другими коллективами. Наряду с барочным репертуаром Мустонен специализируется в области новейшей музыки — так, он (как солист и со своим ансамблем) впервые в Эстонии исполнил ряд произведений Арво Пярта, Кшиштофа Пендерецкого, Тору Такемицу, Валентина Сильвестрова, Владимира Мартынова, Софьи Губайдулиной, Гии Канчели. Участвует также в джазовых концертах.
Заслуженный деятель искусств Эстонской ССР (1986), почётный гражданин Таллина (2000), обладатель ряда других эстонских государственных и общественных знаков отличия.