Андрей Попов родился 12 апреля 1918 года в Костроме, в семье театрального режиссёра Алексея Дмитриевича Попова.
В 1939 году окончил студию при Центральном театре Красной Армии (ЦТСА). С 1940 года актёр центрального театра Советской Армии, который в то время возглавлял его отец А. Д. Попов.
За следующие 23 года Андрей Попов выходил на сцену во многих постановках театра. Среди его работ этого времени роли в спектаклях: «Копилка» (1945), «Степь широкая» (1949), «Ревизор» (1951), «Мой друг» (1957), «Последняя остановка» (1957), «Барабанщица» (1959), «Яков Богомолов» (1962), «Океан» (1961). В 1960 году Алексей Дмитриевич Попов был вынужден уйти с поста главного режиссёра театра на пенсию, к этому привел ряд разногласий с руководящими органами Главного политического управления, в подчинении которого находился театр. Через год Алексей Дмитриевич скончался. В 1961-63 годах обязанности главного режиссёра исполнял А. Л. Дунаев, а затем театр возглавил Андрей Алексеевич Попов.
Андрей Попов руководил ЦТСА до 1974 года. В это время он продолжал выходить на сцену («Свет далекой звезды» (1964), «Трудные годы» (1966)), а также ставил собственные спектакли: «Камешки на ладони» А. Салынского, «Бранденбургские ворота» М. Светлова, «Неизвестный солдат» А. Рыбакова — по мнению критиков, добротные, но весьма скромные работы. Среди его постановок также были и музыкальные: героическая комедия «Ринальдо идет в бой» (пьеса Горинеи и Джованнини, музыка Д. Модуньо) и сказка «Солдат и Ева» (пьеса Е. Борисовой, музыка А. Островского, совместная постановка с А. Муатом) — именно в жанре музыкального спектакля Андрею Попову удалось проявить себя, как театральному режиссёру.
Андрей Попов собрал вокруг себя плеяду талантливых режиссёров: Д. В. Тункель, Б. В. Эрин, Н. А. Мокин, М. М. Буткевич. Мария Осиповна Кнебель за годы его руководства театром поставила в ЦТСА три спектакля. В середине 1960-х годов ведущим режиссёром стал ученик А. Д. Попова и М. О. Кнебель Леонид Ефимович Хейфец.
В 1966 Хейфец поставил ставший знаменитым спектакль «Смерть Иоанна Грозного» по произведению А. К. Толстого, в котором Попов сыграл, возможно, свою лучшую театральную роль — царя Иоанна Грозного. Спектакль стал настоящим событием театральной и культурной жизни Москвы, над этой ролью Андрей Попов продолжал работать всю жизнь, даже после ухода из Театра Советской армии. Вслед за Иоанном Грозным последовали удачные работы Попова в постановках «Часовщик и курица» И. Кочерги, «Влюбленный лев» Ш.Дилени. Необходимо выделить его работу в спектакле «Элегия», где актёр предстал в образе классика русской литературы И. С. Тургенева.
Чеховские персонажи — Епиходов в спектакле «Вишнёвый сад» (постановка М. О. Кнебель, 1965) и Войницкий в «Дяде Ване» (постановка Л. Е. Хейфеца, 1970), сыгранные Поповым, стали залогом последующих его успехов в пьесах Чехова уже на другой сцене.
С 1968 года Андрей Попов начал преподавать в ГИТИСе, с 1973 года — профессор.
Последней крупной ролью Андрея Попова на сцене ЦТСА стала роль старшины Васкова в спектакле «А зори здесь тихие». К 1973 году атмосфера в театре вновь оказалась неприемлемой для дальнейшей работы - диктат военного руководства не способствовал творческому самовыражению артистов и постановщиков, и Андрей Попов покинул театр, которому отдал 35 лет жизни.
В 1974 году Андрей Алексеевич стал актёром МХАТа. Первой работой Андрея Попова на сцене Московского художественного театра стала роль Галилея в постановке В. Н. Богомолова по пьесе Бертольда Брехта «Жизнь Галилея» (1975).
Среди ролей, сыгранных им сцене Московского художественного театра, работы в спектаклях: «Иванов» (1975), «Чайка» (1975), «Обратная связь» (1977), «Утиная охота» (1979), «Отец и сын» (1981). Особенно органичен был Андрей Попов в ролях чеховских персонажей, Ростислав Плятт отзывался о нём так: «Андрей Алексеевич, конечно, был идеальным исполнителем чеховских ролей, но для меня он был по сути своей ещё и чеховским человеком». К этим ролям Попов шёл всю жизнь, и только в годы работы во МХАТе смог позволить себе уделять столько внимания любимому материалу. Актёр обладал собственным видением чеховских персонажей. Например, в роли Сорина (Чайка) Попов трактовал «чеховского старика» поперёк канона: любил Нину Заречную, расцветал при её появлении» (Смелянский).
В 1976 году Андрей Попов возглавил Московский драматический театр им. К. С. Станиславского, находившийся в кризисе, вызванном частой сменой главных режиссёров и слабостью художественного руководства. Андрей Алексеевич позвал в этот театр своих учеников — Анатолия Васильева, Бориса Морозова и Иосифа Райхельгауза. Борис Морозов поставил пьесу «Сирано де Бержерак», Анатолий Васильев — «Вассу Железнову» и «Взрослую дочь молодого человека», именно с этими постановками принято связывать прорыв в творческой жизни Театра Станиславского. Однако «удержать» театр Андрею Алексеевичу не удалось. Московские власти задушили театр: по идеологическим причинам был изгнан Райхельгауз, были вынуждены уйти Морозов и Васильев. В 1979 году Андрей Попов отказался от руководства театром.
Из работ в кино Андрея Попова можно выделить: Новиков (Палата, 1965), Адамов (Седьмой спутник, 1968), Логунов (Укрощение огня, 1972), Крымов (Повесть о человеческом сердце, 1976). Отдельного упоминания заслуживают его роли в экранизациях классики: Дюковский в «Шведской спичке» Чехова, ростовщик в фильме «Кроткая» (1960) по рассказу Достоевского, Назанский (Поединок, 1957) Куприна; герои Шекспира Яго (Отелло, 1955) и Петручио (Укрощение строптивой, 1961). Одна из самых значительных киноработ Попова — слуга Захар (Несколько дней из жизни И. И. Обломова, 1980) в экранизация Никиты Михалкова знаменитого романа И. А. Гончарова. Андрею Попову был близок жанр водевиля, например, в фильме «Сватовство гусара» (1979), он исполняет роль старого отца-скряги, поёт куплеты и танцует.
Кроме работы в театре и кино, артист участвовал в дубляже иностранных фильмов, практически создавая заново образ своего героя (персонаж Бурвиля в фильме «Большая прогулка»).
Также Андрей Попов принимал участие в записи радиоспектаклей: «Белый Бим Чёрное Ухо» Гавриила Троепольского, в роли Ивана Ивановича (в 5-ти частях), «Бывшие люди» М. Горького, в роли Учителя, «Забытые свидетели» Ги де Мопассана, в роли Спутника старой дамы (по мотивам рассказов), «Великий помор» Н. А. Равича, в роли М. В. Ломоносова, «Мой друг» Н. Ф. Погодина, в роли Григория Гая и другие спектакли. Также у радиомикрофона Адреем Поповым были прочитаны рассказы А. П. Чехова, Ивана Бунина, Константина Паустовского.
Последней незавершённой работой Андрея Попова стала роль короля Лира, в постановке одного из его любимых учеников Анатолия Васильева. Спектакль специально создавался для Андрея Алексеевича, специально для него был заказан новый перевод трагедии, артист много и с удовольствием репетировал, но неожиданная его смерть 14 июня 1983 года перечеркнула все эти планы — спектакль не состоялся.
В 1966 году подписал письмо 25-ти деятелей культуры и науки генеральному секретарю ЦК КПСС Л. И. Брежневу против реабилитации Сталина.
Андрей Алексеевич Попов похоронен на Введенском кладбище в Москве.
Есть информация ещё об одном телеспектакле 1970-х годов с участием Андрея Попова:
Всего Андрей Алексеевич Попов снялся в 39 художественных фильмах и нескольких телеспектаклях.
Также участвовал в съёмках документального фильма «Мир Николая Симонова» (1974), в котором рассказывает об артисте Николае Симонове.