Андрей Болибрух родился 30 января 1950 г. в Москве. В 1967 г. окончил с золотой медалью школу-интернат № 45 при ЛГУ, в 1972 г. — механико-математический факультет МГУ (кафедра высшей геометрии и топологии, научный руководитель — М. М. Постников). Работал в отделе дифференциальных уравнений Математического института им. В. А. Стеклова РАН, преподавал на кафедрах дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ и высшей математики МФТИ.
Защитил кандидатскую диссертацию «О фундаментальной матрице системы Пфаффа типа Фукса». В 1989 году А. А. Болибрух получил отрицательное решение 21-й проблемы Гильберта. В 1991 году защитил докторскую диссертацию «Проблема Римана-Гильберта». Профессор кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета (1996). Зам. директора Математического института им. В. А. Стеклова РАН. Избран академиком РАН 29 мая 1997. Вице-президент Московского математического общества, член Американского математического общества. Лауреат премии им. А. М. Ляпунова (РАН) за цикл работ «21-я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем» (1995). В 2001 г. был удостоен Государственной премии России в области науки и техники за цикл работ «Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами».
Область научных интересов: аналитическая теория дифференциальных уравнений, глобальный анализ, топология. Основные работы выполнены в теории линейных дифференциальных уравнений с регулярными особыми точками в комплексной области и на комплексном аналитическом многообразии, по проблеме Римана-Гильберта (21-й проблеме Гильберта для линейных фуксовых систем), по изомонодромным деформациям. Читал спецкурсы «Векторные расслоения и фуксовы дифференциальные уравнения», «Некоторые вопросы аналитической теории дифференциальных уравнений» на механико-математическом факультете МГУ.
Опубликовал 65 научных работ. Основные труды: «Проблема Римана-Гильберта» (Успехи математических наук, 1990), монография «The Riemann-Hilbert Problem» (соавтор Д. В. Аносов, 1994), «Об аналитическом преобразовании к стандартной Биркгофовой форме» (Доклады РАН, 1994), монография «21-я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем» (Труды МИРАН им. В. А. Стеклова, Т.206, 1994), «The Riemann-Hilbert Problem and Fuchsian Differential Equations on the Riemann Sphere» (Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Zurich 1994).
Скончался в Париже 11 ноября 2003 года после тяжелейшей болезни.