Учился в Ярославском театральном училище с 1970 по 1972 год. После окончания училища Болтнев работал в театрах Уссурийска, Майкопа и Новосибирска. В 1985 году заочно окончил Ташкентский театрально-художественный институт им. А. Островского.
Впервые появился на киноэкране в 1983 году, сыграв в фильме Семена Арановича «Торпедоносцы» капитана Гаврилова. Широкую известность актёр получил после того, как на экран в 1984 году вышел фильм Алексея Германа «Мой друг Иван Лапшин», где он исполнил главную роль.
Но по настоящему популярным его сделала работа в телесериале «Противостояние», поставленном по одноимённому роману Юлиана Семёнова. В телефильме Андрей Болтнев сыграл одну из главных ролей — предателя Кротова.
После этих успешных работ актёр новосибирского театра получил приглашение в столичный Академический театр имени Вл. Маяковского.
Скончался Андрей Болтнев от инсульта в Москве 12 мая 1995 года. Похоронен в Москве, на Востряковском кладбище.
Дочь Андрея Болтнева — актриса Мария Болтнева, известная по роли Насти Клименко в т/с «Глухарь».