Родился 20 октября 1956 года в Краснослободске Волгоградской области, в семье педагога Бориса Сапунова. В первый класс пошёл в Москве, когда туда перебрались родители. Играл с братом в школьном ансамбле. Выступали на вечерах.
По окончании школы проучился год в Астраханском институте рыбного хозяйства, затем в Московском энергетическом институте.
Два года служил в армии под Калугой. В армии тоже играл.
После армии десять месяцев работал в группе Стаса Намина. Андрей Сапунов — вокалист Группы Стаса Намина (1978—1979).
В 1979 году поступил в Гнесинское училище, а с июня 1980 года в группе «Воскресенье».
В 1982 году после распада «Воскресенье», Андрей решил закончить музыкальное образование, а также играл с группой «Олимпия».
С 1984 по 1986 год играл в ВИА Самоцветах.
1986—1988 — Группа «Лотос». В 1986 группa «Лотос», с которой устроились в филармонию и гастролировали по стране.
В 1990 году он на время присоединился к «СВ».
1991—1992 — «Трио».
В 1994 году итоговый состав возрожденной группы «Воскресенье» вошли Алексей Романов, Евгений Маргулис, Андрей Сапунов, Михаил Шевяков и — на первых порах — Алексей Макаревич.
В 2003 году после ухода из группы Евгения Маргулиса и Михаила Шевякова остался последним "старым соратником" Алексея Романова в группе
Воскресение
Трио Сапунова
Сольно