Родился в городе Баку (Азербайджанской ССР) 19 октября 1937 года, по национальности армянин.
Мирзабеков учился в Институте тонкой химической технологии им. М. В. Ломоносова. В студенческие годы работал старшим лаборантом в созданном академиком В. А. Энгельгардтом Институте молекулярной биологии (тогда — Институт радиационной и физико-химической биологии АН СССР). Вся его дальнейшая научная жизнь неразрывно связана с ИМБ РАН. В 1973 году он становится заведующим новоорганизованной лаборатории молекулярной организации хромосом (теперь лаборатория структуры и функции хроматина), а в 1984 становится директором Института молекулярной биологии, которому в 1988 году присвоили имя создателя и первого директора В. А. Энгельгардта.
Был главным редактором журнала «Молекулярная биология».
Становление А. Д. Мирзабекова как учёного включало многомесячные стажировки в ведущих биологических лабораториях мира, таких как Лаборатория молекулярной биологии в Кембридже (Великобритания) в 1971 году, Калифорнийский технологический институт в Пасадене (США) в 1975 году, Гарвардский университет (США) в 1975 году.