Начал заниматься музыкой в 10 классе школы под влиянием Джона Бонэма и Ринго Старра. Окончил 3 Московское областное музыкальное училище по классу ударных. В начале 80-х преподавал там же.
Педагогами Андрея Шатуновского были Борис Иванович Кутень и Геннадий Хащенко.
В настоящий момент является барабанщиком групп «Динамик» (группа Владимира Кузьмина) и «Рецитал» (группа Аллы Пугачевой)
Много работает как сессионный музыкант. В этом качестве сотрудничал с Кеном Хенсли, группами «Лига блюза», «Коррозия Металла», «СЕtИ», «Мастер», «Удачное приобретение», «Тяжёлый день», «Моральный Кодекс», группой Натальи Медведевой и множеством других музыкантов.
Неоднократно признавался лучшим барабанщиком страны по результатам различных опросов.
Шатуновский является эндорсером компании Zildjian.