Андрей Корнеевич Алексеев родился 11 ноября 1920 года в селе Локня Кролевецкого района Сумской области Украины в семье крестьянина. Русский. Член ВКП(б) с 1943 года.
Окончил 7 классов.
Окончил Ленинградскую цирковую школу. С 1937 года артист цирковой группы.
В сентябре 1939 года призван в ряды Красной Армии. В 1940 году стал курсантом Киевского пехотного училища.
Участвовал в Советско-финской войне (1939—1940), где был ранен.
С сентября 1941 года — в действующей армии. Воевал на Северо-западном, Воронежском, Степном и других фронтах.
В ночь на 25 сентября 1943 года войска 37-й армии форсировали Днепр. 62-я гвардейская стрелковая дивизия под покровом темноты скрытно переправлялись в районе Мишурина Рога, юго-восточнее Кременчуга. Одним из первых, высадившихся на правый берег реки был батальон гвардии капитана Андрея Алексеева.
Несмотря на большие потери при переправе, батальон решительно атаковал врага, вынудил его оставить выгодные позиции. Под огнём противника капитан Алексеев успел укрыть своих бойцов в отбитых глубоких окопах, сделанных гитлеровцами на днепровских высотах. Закрепившись на этом небольшом участке, советские воины несколько часов отбивали отчаянные контратаки врага.
Воспользовавшись успехом подразделения капитана Алексеева, батальоны 182-го стрелкового полка стали переправлятся через Днепр и закреплятся на его правом берегу, ведя ожесточенные бои за расширение днепровского плацдарма.
У села Дериевка фашистам удалось отрезать от основных сил батальона группу воинов с гвардии капитаном Алексеевым. Проявив смелость и находчивость, воодушевляя личным примером, командир организовал круговую оборону, сумевшую целые сутки вести бой против превосходящих сил противника, а затем прорвать кольцо окружения и соединиться со своим подразделением.
На следующий день капитан Алексеев руководил захватом важной господствующей высоты. Несмотря на ожесточённое сопротивление фашистов, батальон овладел выгодной позицией и прочно на ней закрепился. Оценив обстановку, комбат приказал приступить к подавлению огневых точек противника, которые хорошо просматривались с захваченной высоты. Действия батальона поставили гитлеровцев в трудное положение, вынудившее их сразу бросить в контратаку до роты пехоты с танками. После отражения её гвардейцами по высоте был открыт огонь вражеской артиллерией. Затем на протяжении дня стороной противника несколько раз предпринимались попытки атак данной высоты. В критические моменты обороны, Алексеев принимал решительные меры к удержанию позиций.
Вечером того же дня, после артподготовки гитлеровцами снова была предпринята атака с двух направлений. Несмотря на потери личного состава батальона и усталость, гвардейцам удалось удержать высоту. Выдержать этот тяжелый бой воинам в большой степени помог личный воодушевляющий пример комбата Алексеева.
Смелые действия бойцов под командованием Андрея Алексеева в значительной мере способствовали успешному выполнению дивизией поставленой перед ней важной задачи по удерживанию плацдарма на правом берегу Днепра.
Гвардии капитан Алексеев А. К. погиб в одном из боёв на правобережной Украине.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 февраля 1944 года за умелое командование батальоном при форсировании Днепра и удержание захваченного плацдарма, гвардии капитану Андрею Корнеевичу Алексееву посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.