Кулебин родился 14 мая 1984(19840514) в Германии в семье военнослужащего. Когда Андрею было полтора года семья переехала в поселок Гатово под Минском.
Единоборствами Андрей начал заниматься в возрасте 9 лет. Первым серьёзным достижением Кулебина в спорте стал чёрный пояс по тхэквондо. В возрасте 12 лет по его просьбе отец привел Андрея в клуб «Кик Файтер» к заслуженному тренеру Республики Беларусь Евгению Котельникову, у которого тогда тренировались бойцы Дмитрий Шакута, Алексей Пекарчик, Василий Шиш и другие.
С 2001 года Кулебин успешно выступал на международных любительских соревнованиях. Начав с бронзы на чемпионате мира по тайскому боксу, он впоследствии трижды подряд становился чемпионом мира (тогда он выступал по версии WMF, называвшейся до 2004 года IAMTF). Дважды золото Андрей завоёвывал на чемпионатах по кикбоксингу (WAKO). В этот период Кулебин постоянно поднимался по весовым категориям, дойдя от первого наилегчайшего до лёгкого веса.
На профессиональном ринге Андрей начал выступать с 1999 года. Из ранних его боёв следует отметить победу в 2002 году над другим перспективным бойцом из СНГ украинцем Богданом Лукиным (в будущем - 4-кратный чемпион мира).
В 2004 году, победив американца Рауля Лопеса, Андрей завоевал первый чемпионский титул среди профессионалов по версии WKN. Год спустя в бою с Джалалом Эшауши Кулебин выиграл второй титул по той же версии, но на одну категорию выше.
В декабре 2005 года Кулебин был удостоен приглашения в Бангкок на фестиваль, приуроченный ко дню рождения короля Таиланда. Однако в бою за титул чемпиона в лёгком весе по версии WPMF Андрей проиграл словаку Рудольфу Дурице, назвав впоследствии этот бой одним из сложнейших в карьере.
С 2006 года профессиональная карьера Кулебина пошла вверх. Он три раза подряд становился победителем гонконгского гран при I-1, проходившего под эгидой крупнейшей мировой федерации тайского бокса WMC. Дважды турнирная сетка сводила Андрея с Рудольфом Дурицей, у которого он успешно взял реванш, и трижды - с известным тайцем Сантичаем О. Бунчуаем. Победы принесли ему мировую известность как одного из сильнейших полусредневесов планеты.
На любительском ринге Андрей также имел успех, занимая призовые места на международных соревнованиях. Особенно удачным выдался 2007 год, когда Кулебин выиграл оба чемпионата мира по тайскому боксу (IFMA и WMF) и чемпионат мира по кикбоксингу (WAKO).
В 2008 году Андрей стал первым белорусским тайбоксером, получившим звание Заслуженного мастера спорта.
2009 год начался для Кулебина не слишком удачно. На очередном гран-при I-1 он, традиционно считаясь фаворитом, травмировался в четвертьфинале, из-за чего снялся с финального поединка. Однако уже в июне Андрей сумел завоевать самый престижный титул в карьере - чемпионский пояс по версии WMC, доставшийся ему в бою с находившемся на пике формы голландцем Мосабом Амрани.
В сентябре Кулебин стал победителем прошедшего в Минске гран-при Big-8 (под эгидой WKN).
В ноябре 2009 года Андрей, нокаутировав англичанина Майкла Дикса, завоевал титул чемпиона мира по версии WMC, но уже на одну весовую категорию выше.
По итогам достижений Кулебин победил в номинации "Боец года" авторитетной компании Golden Belt Association, опередив обладателя Кубка короля Таиланда Косму Алешандри.
В марте 2010 года Кулебин вновь принял участие в пятом по счёту гран-при I-1. На этот раз обошлось без травм, и Андрей вернул себе звание сильнейшего бойца турнира.
Неудачным стало для Кулебина противостояние с сильным тайцем Сутсакхоном Со. Клинми. Первый раз Андрей приограл ему в январе в бою за титул чемпиона мира по версии WKN во втором полусреднем весе, второй - в сентябре в финале гран-при Big-8.
Более успешной оказалась поездка в Великобританию, где в октябре в бою с местным бойцом Имран Ханом Кулебин завоевал чемпионский пояс WDKMA.
В январе и мае 2011 года Кулебин потерпел поражения от сильных тайцев Кхаупхонглека Луксунтхама и Саййока Пхумпханмуанга.
В ноябре Андрею удалось успешно закончить год победой на 3-м гран-при Big-8, которая принесла ему также титул чемпиона мира по версии WKN во втором полусреднем весе.