Андрей Баланчивадзе родился в Санкт-Петербурге 19 мая (1 июня) 1906 года, (по другим источникам - в 1905 году) в семье композитора М. А. Баланчивадзе. Его старший брат Георгий эмигрировал из СССР и стал всемирно известным балетмейстером, работая, в основном в США, под именем Джордж Баланчин.
Учился в Тифлисской консерватории (класс М. М. Ипполитова-Иванова, окончил в 1926 году) и в Ленинградской консерватории (класс А. М. Житомирского, окончил в 1931).
В 1941—1948 гг руководил Государственнным симфоническим оркестром Грузинской ССР.
В рядах союза композиторов Грузинской ССР с момента его основания в 1932 году. В 1953—1961 и 1968—1973 являлся председатем правления.
Автор оперы «Мзиа» (1949), «Золотая свадьба» (1970), балетов «Сердце гор» («Мзечабуки», впервые поставлен в 1936 году в Тбилисском театре оперы и балета, балетмейстер В. М. Чабукиани), «Страницы жизни» (1961), «Мцыри» (1964), двух симфоний, четырёх концертов для фортепиано с оркестром. Андрей Баланчивадзе писал музыку для театра и кино. В частности, совместно с Павлом Толстяковым написал музыку для фильма "Прометей" (Украинфильм, 1936).
Андрей Мелитонович являлся депутатом Верховного Совета Грузинской ССР 1 — 5-го созывов.
С 1935 года Баланчивадзе преподавал в Тбилисской консерватории, с 1942 года стал профессором, с 1962 года заведующий кафедрой композиции. Среди его учеников: М. Ш. Давиташвили, А. А. Квернадзе, Р. И. Лагидзе, Ш. Е. Милорава, А. И. Чимакадзе, А. В. Шаверзашвили, О. Л. Тевторадзе, Н. Л. Мамисашвили.
Умер 28 апреля 1992 года, (по другим источникам 27 апреля) в Тбилиси.