Родился 26 марта 1972 года в городе Аркадак Саратовской области. Когда Андрею было всего 4 года, его семья переехала в Кабардино-Балкарию (город Прохладный). В школьном возрасте Кураев всерьез увлекся игрой в футбол и добился весьма значительных успехов. В составе юношеской футбольной команды Андрей много ездил по республике и участвовал во Всероссийском турнире юных футболистов "Кожаный мяч", проводившемся в Ленинграде.
Однако поворотным для Андрея стал 1987 год - именно тогда молодой человек внезапно переориентировался со спорта на музыку. В школе, где учился Кураев, создавалась музыкальная группа, и друзья пригласили юношу принять участие в коллективе в качестве бас-гитариста. Тогда же, в 1987 году, Андрей поступил в Ленинградское арктическое училище, где на третьем курсе познакомился с гитаристом Ильей Печенкиным. Печенкин пригласил Кураева принять участие в студенческом музыкальном коллективе, получившем впоследствии название «Каникулы любви». Солистом новоиспеченного коллектива был барабанщик Николай Сажин. Команда исполняла композиции в стиле рокабилли и рок-н-ролл, во многом ориентируясь на группу «Браво». Вскоре коллектив записал свою первую демо-пленку на студии во Дворце молодежи, а еще через некоторое время новым участником группы стал гитарист Дан Гуценко (Шувалов). К тому моменту Сажин успел покинуть коллектив, и Шувалов стал новым фронтменом группы. Именно он предложил переименовать команду в «Stunnin’ Jivesweets» и исполнять песни на английском языке. Тогда же Андрей освоил новый инструмент - контрабас.
В 1993 году Андрей Кураев начал сотрудничать с Денисом Купцовым и Константином Лимоновым – участниками группы «Spitfire». Денис и Константин регулярно выступали со “Stunnin’ Jivesweets”, тогда как духовая секция “SJS” выступала в составе “Spitfire”. Имя Андрея Кураева было указано на буклете дебютного альбома «Spitfire» “Night Hunting”, где музыканту выражалась благодарность. В 1996 году Андрей стал полноправным участником “Spitfire”. С 2001 года Андрей - бас-гитарист группы «Ленинград» Сергея Шнурова. В период с 2001 по 2008 играл в коллективе “St. Petersburg Ska-Jazz Review”.