Первый профессиональный контракт Островский подписал в 16 лет с брестским «Динамо» и уже на второй год своего пребывания в команде стал одним из основных защитников клуба. Его заметили тренеры самого сильного клуба страны, минского «Динамо». Сумев выдержать сильную конкуренцию в оборонительной линии клуба, Андрей на несколько лет стал основным защитником команды, и в 1994 году ему пришло приглашение из национальной сборной Белоруссии. Вскоре Островскому пришло предложение из московского «Динамо», где в первый же сезон он вместе с командой выиграл бронзу чемпионата России. Отыграв три сезона в «Динамо» и заслужив любовь болельщиков клуба, Андрей уехал в Израиль, в котором за два года пребывания выиграл два титула чемпиона страны вместе с «Маккаби» из Хайфы. Затем ему поступило предложение от киевского «Арсенала», в котором он отыграл три сезона, с небольшим перерывом, когда в начале 2004 года попытался вновь вернуться в российское футбольное первенство, подписав контракт с клубом «Торпедо-Металлург». Но там дела не заладились, и он вернулся обратно в «Арсенал». Последним клубом карьере Островского стал одесский «Черноморец». В 34 года Андрей был вынужден завершить карьеру из-за травмы тазобедренного сустава, которую он так и не смог залечить. Прощальный матч прошёл 7 октября 2007 года в его родном Пинске между местной командой «Волна» и командой «друзей Островского».