Старший брат хоккеиста Сергея Костицына, который также выступает за «Предаторз», а ранее играл вместе с братом в «Монреаль Канадиенс».
Воспитанник новополоцкой детско-юношеской хоккейной школы.
За национальную сборную Белоруссии выступает с 2002 года. Участник чемпионатов мира 2003, 2004 в первом дивизионе, 2005, 2006 и 2008 годов в составе сборной Белоруссии.
По состоянию на конец сезона 2010/11 провёл в регулярных чемпионатах НХЛ 326 игр, в которых набрал 186 (87+99) очков.
В феврале 2012 года «Монреаль Канадиенс» обменял Андрея Костицына в «Нэшвилл». Компенсацией за Костицына стали выбор во втором раунде драфта и условный выбор на драфте 2013 года.