Родился в семье московского коммерсанта. Получил домашнее воспитание. Сестра — Елизавета, братья — Сергей и Николай. Уже в детстве собирал в банки с водой различных водяных животных (особенно рыб) и производил над ними различные опыты и наблюдения. Однажды в детстве получил за прилежание от тёти двух золотых рыбок, что стало для мальчика ценным подарком. С возрастом этот интерес усилился, так что Мещерский намеревался серьёзно заняться зоологией, но после смерти отца был вынужден заняться коммерцией.
Через несколько лет Андрей Сергеевич стал заведующим крупного торгового дома (Мюр и Мерилиз), что позволило ему заняться в свободное время своим любимым делом. Однако серьёзных научных исследований Мещерский не проводил, ограничившись любительскими наблюдениями.
В 1887 году женился на Елизавете Николаевне Дурасовой. Дети — Елизавета, Мария, Сергей, Елена, Александра, Софья.
В 1863 году А. С. Мещерский вместе с Л. П. Сабанеевым и Н. Ф. Золотницким, выступили инициаторами и основными устроителями первой акклиматизационной выставки в Москве, где наряду с другими экспонатами были представлены аквариумы с отечественными пресноводными рыбами.
В 1867 году комиссионер заведуемой Мещерским торговой фирмы привёз ему с (фр. ) пару макроподов. Увлёкшись этими рыбками, Мещерский стал делать над ними интересные, и в то время новые биологические наблюдения и захотел постепенно увеличить своё аквариумное хозяйство новыми, неизвестными ещё в Москве видами экзотических рыб. Этому способствовало то обстоятельство, что по коммерческим делам Мещерским доводилось ежегодно бывать за границей в Берлине и Париже, где тогда жил знаменитый рыборазводчик, пионер французской и европейской аквариумистики Pierre Carbonnier. Именно у него приобретал российский любитель рыбок, иногда выплачивая за них весьма крупные суммы. Так в 1869 году он приобрел у Карбонье маленьких шестимесячных макроподов по 25 франков за пару и привез их Москву.
Таким образом им были получены:
Над всеми этими рыбами Мещерский производил биологические наблюдения, и большинство из них в его аквариумах принесло даже приплод. Так у него размножались даже рыбы-кошки, не принесшие ни у кого приплода, за исключением Карбонье. А макроподы, золотые рыбки, тиинг-го и телескопы выводились массово.
Мещерскому удалось размножить в аквариуме солнечную рыбку, сюррель, а также коридораса паланкатус и испанского ципринодона, полученные мальки разошлись по всей Европе.
Часть своих наблюдений Мещерский описал в 1 томе трудов отдела ихтиологии Императорского Русского Общества акклиматизации, действительным членом которого он состоял с 1883 года, а другая часть описана его товарищем по хобби Николаем Золотницким в его книге «Аквариум любителя». Кроме личных наблюдений Мещерский немало содействовал развитию отечественной ихтиологии доставкой материала для научных исследований и увеличения академических коллекций.
В 1878 году А. С. Мещерский, Н. Ф. Золотницкий задумали создать постоянно действующий Аквариум на территории открытого в 1864 году Зоосада. Эту идею полностью удалось осуществить только в 1904 году, когда на средства энтузиастов-натуралистов, на территории Московского зоопарка была открыт Аквариум. К сожалению в 1905 году Аквариум был уничтожен во время революционных событий на Красной Пресне. Но в 1878 году Московском зоологическом саду прошла Вторая Всероссийская акклиматизационная выставка, организованная группой энтузиастов (А. С. Мещерский, И. С. Этикер, В. Н. Попандопуло, Н. В. Нелонов), на которой в 20 аквариумах были показаны экзотические растения и около 30 видов рыб (в том числе отсутствовавшие на тот момент в Германии и Англии гурами, а также американские ушастые окуни, макроподы, петушки, и др.), ряд пород золотой рыбки и несколько видов водных беспозвоночных. В том же году был создан отдел ихтиологии как самостоятельное подразделение Общества акклиматизации, объединившего сотни аквариумистов. Председателем отдела ихтиологии до 1890 года был Н. Ю. Зограф
А. С. Мещерский написал 6 статей, которые были изданы в «Известиях» Императорского Общества любителей естествознания, том 51, выпуск 2. Им же написаны: