Андре?й (Алексей) Петро?вич Туты?шкин родился в семье врача, профессора П. П. Тутышкина.
В 1930 году окончил театральную школу при театре имени Е. Вахтангова, работал в различных театрах страны как актёр и режиссёр, снимался в кино. Прославился работой в фильме Волга-Волга, роль — счетовод Алёша Трубышкин, в титрах назван как «орденоносец Тутышкин».
Поставил в театре им. Е. Вахтангова драму Лермонтова «Маскарад», причём премьера лермонтовского «Маскарада» в постановке А. Тутышкина была показана накануне войны — 21 июня 1941 г. В одну из первых военных бомбёжек в здание театра попала бомба. Среди погибших был один из лучших актёров театра Василий Куза - друг Тутышкина. Здание было сильно разрушено, уничтожены многие декорации. По Арбату ещё долго были раскиданы элементы декораций и реквизита спектакля «Маскарад».
22 октября 1941 года А. Тутышкин с театром был эвакуирован в город Омск, где снова поставил лермонтовский «Маскарад» в здании Омского театра драмы.
В 1946 году А. Тутышкину присвоено звание заслуженный артист РСФСР.
В 1960-х годах жил и работал в Ленинграде, был художественным руководителем театра им. Ленинского Комсомола, а также работал как режиссёр на Ленфильме.
Поставил фильмы «Мы с вами где-то встречались», «Безумный день», «К Чёрному морю», «Вольный ветер», «Свадьба в Малиновке», «Шельменко-денщик».
Скончался в Москве, в 1971 году. Похоронен на Головинском кладбище рядом с могилой отца, профессора П. П. Тутышкина.
В театре им. Евг. Вахтангова:
Поставил фильмы: