В 1966 году окончил Московский архитектурный институт. С 1966 по 1970 годы работал архитектором, затем старшим архитектором Управления проектирования «Моспроект». В 1970—1972 годах учился в аспирантуре ЦНИИ теории и истории архитектуры, где в 1973 году защитил кандидатскую диссертацию по теме «Архитектурно-пространственная организация многофункциональных комплексов и сооружений». В 1972—1974 годах работал и. о. младшего научного сотрудника, и. о. старшего научного сотрудника в том же институте. С 1974 по 1981 годы состоял старшим научным сотрудником и заведующий сектором ЦНИИ экспериментального проектирования зрелищных зданий и спортивных сооружений им. Б. Мезенцева. В 1981—1988 годах работал в Московском научно-исследовательском и проектном институте объектов культуры, отдыха, спорта и здравоохранения. В 1988 году назначен заместителем директора института по научной работе Всесоюзного научно-исследовательского института теории архитектуры и градостроительства. С 1991 по 1998 годы А. Боков работал главным архитектором Московского научно-исследовательского и проектного института объектов культуры, отдыха, спорта и здравоохранения. В 1994 году защитил докторскую диссертацию по теме «Геометрические основания архитектуры и картина мира» С 1998 года и по настоящее время является генеральным директором Московского научно-исследовательского и проектного института объектов культуры, отдыха, спорта и здравоохранения «Моспроект-4». С 2008 года — Президент Союза архитекторов России, академик Российской академии архитектуры и строительных наук.
Автор двух книг и более 50 статей в отечественных и зарубежных изданиях. Вел теоретические исследования по проблемам проектирования городской среды и развития социальной инфраструктуры Москвы. Один из идеологов «средового подхода в архитектуре». В течение ряда лет преподавал в МАРХИ, МИИЗе, Московском государственном академическом художественном институте им. В. И. Сурикова, Центральной учебно-экспериментальной студии Союза художников СССР (так называемая Сенежская студия).
Лауреат Национальной премии в области архитектуры «Хрустальный Дедал» за 2001, 2002 и 2004 годы.
А. В. Боков является автором различных градостроительных и архитектурных проектов, среди которых экспериментальный жилой район в Нижнем Новгороде, 3-й павильон Всероссийского выставочного центра, Государственный музей В. В. Маяковского, офисные комплексы на Саввинской набережной, футбольный стадион «Локомотив», Крытый конькобежный центр в Крылатском, Ледовый дворец «Мегаспорт», градостроительная концепция и жилая застройка на Ходынском поле, Московский академический музыкальный театр имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко, здание театра Et cetera и ряд других построек.
Критикуется за проекты реконструкции исторических зданий. Так, для размещения Школы телевизионного мастерства В. В. Познера «Моспроектом-4» был реконструирован дом, принадлежавший поэту-петрашевцу А. Н. Плещееву (Малая Дмитровка, 22) .
В 2009 году по проекту возглавляемого А. В. Боковым «Моспроекта-4» началось строительство большой сцены театра «Геликон-опера» на территории усадьбы Шаховских на Большой Никитской улице, в результате чего была разобрана часть хозяйственных построек XIX века.
В июне 2011 года архитектор Е. Асс выступил с открытым письмом, в котором выразил возмущение тем, что Союз архитекторов, возглавляемый Боковым, вступил в Общероссийский народный фронт, не спрашивая согласия членов Союза. Вместе с Ассом открытое письмо против вступления Союза в ОНФ подписали многие архитекторы.