После завершения игровой карьеры — мини-футбольный тренер.
Воспитанник петербургского футбола. Играл в футбол за ЦСКА-д, «Зенит-2» и петербургский «Локомотив», после чего перешёл в мини-футбол.
Начинал мини-футбольную карьеру в петербургских клубах «Галакс» и «Зенит», затем провёл один сезон в московском «ГКИ-Газпроме». В 1999 году перешёл в «Норильский никель» и вскоре стал одним из лидеров команды. В 2002 году помог норильчанам выиграть чемпионат России. Годом позже покинул норильский клуб и провёл один сезон в югорской «ТТГ-Яве». Затем вернулся в Санкт-Петербург и отыграл сезон в «Политехе», игравшем тогда в Высшей лиге.
Соловьёв сыграл 14 матчей и забил 2 мяча за сборную России по мини-футболу. Он ездил с ней на Чемпионат Европы 2001 года, где россияне выиграли бронзу.
В 2007 году Соловьёв провёл один сезон в петербургском «Динамо», после чего завершил игровую карьеру и занял должность главного тренера «динамовцев». Вскоре «Динамо» прекратило существование. В следующем сезоне Андрей возглавлял дебютанта Суперлиги московский клуб «Динамо-2».