Начинал как хоккеист — с 3-х лет встал на коньки и занимался хоккеем. В 8 лет — стал лучшим в своем возрасте хоккеистом в республике. Вместе с ним в одной команде играл Карлис Скрастыньш, известный латвийский хоккеист 90-х.
В 13 лет после разговора с тренером юношеской команды «Даугавы» поменял вид спорта. В «Даугаве» пробыл до 1993.
В 1996 Александр Старков пригласил Штолцерса в «Сконто» (Рига), в составе которого Андрей затем стал двукратным чемпионом Латвии.
После Кубка Содружества 1998 мог перейти в московское «Торпедо», но по результатам медкомиссии клубу не подошёл. Штолцерс воспользовался запасным вариантом и перешёл в «Шахтёр» (Донецк). В составе «Шахтёра» трижды становился серебряным призёром чемпионата Украины, затем провёл полгода в московском «Спартаке», став в его составе чемпионом России.
С декабря 2000 года до лета 2004 года был игроком английского «Фулхэма», играл в его составе в Первом дивизионе Футбольной лиги (второй по силе дивизион тогдашнего английского футбола после Премьер-лиги) в победном сезоне 2000/01 (15 игр, 2 гола), а затем и в Премьер-лиге (10 игр). В сезоне 2004/05 играл за «Йовил Таун» во Второй Футбольной лиге Англии (4-й по силе дивизион), в том сезоне клуб победил в том турнире, а Андрей регулярно выходил на поле. Проведя некоторое время в Азербайджане и на родине, Штолцерс вернулся в Англию в начале декабря 2009 года, перейдя в клуб «Бат Сити», выступающий в Южной конференции (6-й по силе дивизион). В начале февраля 2010 года Штолцерс перешёл в клуб «Хэйс энд Идинг Юнайтед», выступающий в Национальной конференции (5-м по силе дивизионе Англии). В начале мая того же года покинул клуб.
Андрей Штолцерс вышел из спортивной семьи. Дед, отец и тётя — мастера в парусном спорте. Они выигрывали различные регаты, становились чемпионами СССР. Дед также успешно участвовал в авторалли, завоёвывал различные медали и кубки. Отец в 1997 стал бронзовым призёром в командных соревнованиях чемпионата Европы в буерном спорте.
Жена (с 1997) — Оксана (кандидат в мастера спорта по художественной гимнастике).